Chi-Quadrat-Test

Die Berechnung

Die erwartete Anzahl je FachAusstattungFachEines der 37 nummerierten Fächer der Drehscheibe (Nummernfach). Auch: Slot, Cup.Ganz lesen → ist n/37. Für jedes Fach wird die Differenz zwischen beobachtetem und erwartetem Wert quadriert und durch den erwarteten Wert geteilt; die 37 Terme werden addiert. Ein fehlerfreier Kessel liefert im Durchschnitt Werte um 36 (die FreiheitsgradeLaborFreiheitsgradeDie Anzahl unabhängiger Werte in einer Statistik. Bei einem Chi-Quadrat-Test über 37 Fächer sind es 36, weil die Zählwerte zusammen die Gesamtzahl ergeben müssen.Ganz lesen →), mit einer StandardabweichungMathematikStandardabweichungQuadratwurzel der Varianz; der typische Abstand eines Ergebnisses vom Erwartungswert.Ganz lesen → von etwa 8,5. Ein Wert über 51,0 ist auf dem 5%-Niveau signifikant, über 58,6 auf dem 1%-Niveau. Die Kesselfehler-Analyse berechnet die Prüfgröße und den exakten p-WertLaborp-WertDie Wahrscheinlichkeit, eine mindestens so große Abweichung wie die beobachtete zu sehen, wenn der Kessel fehlerfrei wäre.Ganz lesen → mit der regularisierten unvollständigen Gammafunktion.

Ein durchgerechnetes Beispiel

1.000 Coups. Sechsunddreißig Fächer erreichen zwischen 20 und 34 Treffer; Fach 8 hat 41. Erwartet werden 27,03. Der Term von Fach 8 allein ist (41 − 27,03)²/27,03 = 7,2. Angenommen, die übrigen 36 Terme summieren sich auf 38 (typisch). Dann ist χ² = 45,2 bei 36 Freiheitsgraden, p ≈ 0,14. Nicht signifikant: Ein fehlerfreier Kessel liefert so etwas in einem von sieben Fällen. Fach 8 ist ein Kandidat, kein Befund, und die Antwort lautet: weitere tausend Coups.

Voraussetzungen

Unabhängige CoupsMathematikUnabhängige CoupsJeder Coup hat dieselben Wahrscheinlichkeiten, gleichgültig, was vorher war. Die Grundlage jeder Berechnung auf dieser Website.Ganz lesen → und erwartete Anzahlen von mindestens 5 je Fach, was n ≥ 185 bedeutet, damit der Test überhaupt gültig ist, und weit mehr, damit er nützlich ist. Coups mehrerer Kessel zusammenzuwerfen verletzt die erste Voraussetzung dem Sinne nach (getestet wird eine Mischung, kein Kessel). Eine Croupier-Handschrift würde sie tatsächlich verletzen und χ² aufblähen, ohne dass ein Fach physisch bevorzugt wäre.

Handschrift des CroupiersUnabhängige Coups

Pearson und Monte Carlo

Karl Pearson veröffentlichte den Test 1900, und eines seiner ersten durchgerechneten Beispiele waren 26.306 aufgezeichnete Roulette-Coups aus Monte Carlo, die er für viel zu ungleichmäßig hielt, als dass der Zufall sie erklären könnte; er erklärte: „Monte-Carlo-Roulette … ist kein Glücksspiel“. Spätere Autoren kamen zu dem Schluss, dass die Journalisten, die die Coups für eine Zeitung aufgezeichnet hatten, viele davon erfunden hatten, was für sich genommen eine Lehre über die Herkunft von Daten ist.

Roulette in Monte Carlo

Ein echter Test: automatische Kessel in Las Vegas

Spieler vermuten oft, dass ein automatischer Kessel die KugelAusstattungKugelDie kleine Kugel, die gegen die Drehrichtung der Drehscheibe in den Kugellauf eingeworfen wird. Moderne Kugeln bestehen aus Ivorine oder Teflon, 18–21 mm.Ganz lesen → von großen Einsätzen weglenkt. 2017 stellte Wizard of Odds diesen Verdacht an den Kesseln ohne Croupier mit Doppel-ZeroKesselZeroDas einzelne grüne Fach, das keine einfache Chance, kein Dutzend und keine Kolonne abdeckt; die Quelle des Hausvorteils. Auch: einfache Zero, 0.Ganz lesen → von Interblock in Las Vegas auf die Probe, mit Wetten auf einen Bogen von fünf benachbarten Zahlen, wie ein Kesselgucker sie setzt. In 299 Coups gewann der Bogen 29-mal bei 39,3 erwarteten Treffern, ein Fehlbetrag, den ein fehlerfreier Kessel in etwa 4% der Fälle liefert. Das Chi-Quadrat über alle 38 Fächer betrug 45,29 bei 37 Freiheitsgraden: p = 16,5%. Eine zweite Stichprobe von 1.204 Coups an drei Kesseln ergab χ² = 34,79, p = 57%, und kein Bogen, gleich welcher Größe er ihn ausprobierte, war signifikant. Beide Stichproben zusammen, 1.503 Coups, ergaben χ² = 41,75, p = 27%. Das Urteil: kein Hinweis auf Lenkung. Die erste Stichprobe allein sah verdächtig aus; entschieden hat die zweite.

Über Chi-Quadrat hinaus

Für ein einzelnes verdächtiges Fach ist ein Binomialtest trennschärfer. Für einen verdächtigen Bogen gibt es den z-Test für SektorenKesselSektorEin zusammenhängender Bogen von Fächern im Kessel (Kesselsektor), im Unterschied zu einer Gruppe auf dem Tableau.Ganz lesen → auf der Seite zur Sektoranalyse. Chi-Quadrat ist der Omnibus-Test: Er zeigt, dass etwas nicht stimmt, ohne zu sagen, was. Zuerst ihn anwenden, dann hinschauen.

Sektoranalyse

Formel

Fragen