Wahrscheinlichkeiten beim Roulette
Jede Wahrscheinlichkeit beim Roulette ist eine Anzahl von Fächern geteilt durch 37.
p = abgedeckte Zahlen / 37. Eine Zahl: 2,70%. Achtzehn: 48,65%. Die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Folge multipliziert die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Coups.
Einzelne Coups
Jedes der 37 FächerAusstattungFachEines der 37 nummerierten Fächer der Drehscheibe (Nummernfach). Auch: Slot, Cup.Ganz lesen → ist gleich wahrscheinlich, also ist WahrscheinlichkeitMathematikWahrscheinlichkeitMaß dafür, wie wahrscheinlich ein Ergebnis ist, von 0 bis 1 oder von 0% bis 100%. Eine Zahl: 1/37 = 2,70%.Ganz lesen → Zählen. Eine Wette auf vier Zahlen gewinnt in 4/37 der Fälle, etwa 10,8%. Mehr steckt nicht in der Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Coups, und deshalb lässt sich das ganze Spiel auf einem Bierdeckel analysieren.
Mehrere Coups
Coups sind unabhängig, also multiplizieren sich die Wahrscheinlichkeiten einer Folge. Zweimal RotWetteRotEinfache Chance auf die 18 roten Zahlen. Französisch: Rouge.Ganz lesen → hintereinander: (18/37)² = 23,7%. Rot, dann ZeroKesselZeroDas einzelne grüne Fach, das keine einfache Chance, kein Dutzend und keine Kolonne abdeckt; die Quelle des Hausvorteils. Auch: einfache Zero, 0.Ganz lesen →: (18/37)(1/37) = 1,3%. Zweimal hintereinander die 17: (1/37)² = 0,073%, etwa 1 von 1.369. Bei einer bestimmten Folge zählt die Reihenfolge, bei einer Anzahl nicht: „Rot, dann SchwarzWetteSchwarzEinfache Chance auf die 18 schwarzen Zahlen. Französisch: Noir.Ganz lesen →“ sind 25,0%, aber „einmal Rot und einmal Schwarz in zwei Coups, in beliebiger Reihenfolge“ sind 50,0%.
Mindestens einmal
Nutzen Sie das Gegenereignis. Die Wahrscheinlichkeit, dass auf eine volle ZahlWetteVolle ZahlEine einzelne Zahl, zahlt 35:1.Ganz lesen → in 37 Coups kein Treffer fällt, ist (36/37)³⁷ = 36,3%, also ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer 63,7%, nicht die „Sicherheit“, die viele Spieler bei 37 Versuchen zu je 1 von 37 erwarten. Dieselbe Rechnung sagt, dass eine Zahl in 37 Coups mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 1 von 3 gar nicht erscheint, und deshalb zeigt die Permanenzanzeige immer ein paar „kalte“ Zahlen.
Erwartete Wartezeit
Im Durchschnitt erscheint eine volle Zahl einmal in 37 Coups, aber die Wartezeit schwankt enorm: Die mediane Wartezeit beträgt etwa 25 Coups (in der Hälfte der Fälle kommt sie früher), und jedes zwanzigste Warten übersteigt 110 Coups. Wartezeiten eines geometrischen Prozesses haben einen langen Ausläufer, und ein Spieler, der „weiß“, dass eine Zahl nach 60 Coups fällig ist, beschreibt etwas, das in einem von fünf Fällen vorkommt.
Häufige Fehler
Wahrscheinlichkeiten addieren für Ereignisse, die beide eintreten können (Rot oder Ungerade ist nicht 36/37, sondern 26/37, weil zehn Zahlen beides sind). Multiplizieren für Ereignisse im selben Coup (Rot und Ungerade in einem Coup sind 10/37, nicht 18/37 × 18/37). Vergangene Coups zu der Folge rechnen, auf die Sie jetzt setzen: Nach zehnmal Rot beträgt die Wahrscheinlichkeit für ein elftes Mal 18/37, nicht (18/37)¹¹.
Quote und Wahrscheinlichkeit
Casinos geben AuszahlungenGeldAuszahlungWas eine gewinnende Wette einbringt, angegeben als „X zu 1“ zusätzlich zum zurückgegebenen Einsatz.Ganz lesen → als Quoten an. Eine Wahrscheinlichkeit von 1/37 entspricht einer Quote von 36 zu 1 gegen den Spieler. Eine Auszahlung von 35 zu 1 liegt daher eine EinheitGeldEinheitDer Grundeinsatz, in dem ein System oder ein Spieler rechnet. Progressionen werden in Einheiten beschrieben, damit sie an jedem Tisch gelten.Ganz lesen → darunter, und das ist der HausvorteilMathematikHausvorteilDer Anteil jedes Einsatzes, den das Casino im Durchschnitt behält: 2,70% im europäischen Roulette.Ganz lesen → in seiner ursprünglichen Form. Umrechnung: Quote gegen = (1 − p)/p; Wahrscheinlichkeit = 1/(Quote + 1).
Formel
Fragen
(1/37)² = 1/1369 ≈ 0,073%.
36/37 = 97,3%. Die Zero ist der Rest.
Alle 37 haben 1/37. Die 17 ist die am häufigsten gesetzte Zahl, und das ist eine Tatsache über Menschen.
Mathe zum Mitdenken
Versuchen Sie es zuerst selbst. Jede Lösung ist eingeklappt; öffnen Sie sie, wenn Sie so weit sind.
Sie setzen Coup für Coup auf RotWetteRotEinfache Chance auf die 18 roten Zahlen. Französisch: Rouge.Ganz lesen →. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ihr fünfter Gewinn genau im achten Coup kommt? Und dass Sie in den ersten acht Coups fünf Gewinne haben?
Lösung anzeigen
Antwort 12,9%, etwa 1 von 8, für den fünften Gewinn im achten Coup. 33,4% für fünf Gewinne bis dahin.
Der fünfte Gewinn im achten Coup bedeutet zweierlei: Der achte Coup gewinnt, und die ersten sieben Coups enthalten genau vier Gewinne und drei Verluste, in beliebiger Reihenfolge. Es gibt 35 Möglichkeiten, vier Gewinne auf sieben Coups zu verteilen.
Die Wahrscheinlichkeit ist also 35 × (18/37)⁵ × (19/37)³ = 35 × 0,02725 × 0,1354 = 12,9%.
Für fünf Gewinne bis zum achten Coup kommt derselbe Term für den fünften Gewinn im fünften, sechsten und siebten Coup hinzu: 2,7% + 7,0% + 10,8% + 12,9% = 33,4%. In der Statistik heißt das negative Binomialverteilung: wie viele Versuche eine feste Zahl von Erfolgen braucht. Taylor (2021) rechnet dieselbe Frage für einen amerikanischen Kessel durch: 12,2%.
Zum Schmunzeln
Fächer zählen. Durch 37 teilen. Bei Folgen multiplizieren. Fertig.
Quellen
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.