Aufgabe: Das Tischlimit
Eine Martingale mit $10 an einem Tisch mit Limit $500. Wie oft scheitert sie, wie viel verliert sie dabei, und hilft ein höheres Limit?
Sechs Verluste in Folge bringen sie zum Scheitern: 1,8% pro Zyklus, etwa 60% der Sitzungen mit 100 Coups. Das Scheitern kostet $630. Ein Limit von $5.000 macht das Scheitern seltener (0,25% pro Zyklus) und größer ($5.110). Der erwartete Verlust pro gesetztem Dollar beträgt bei jedem Limit 2,70%.
Die Aufgabe
Ein Spieler setzt $10 auf RotWetteRotEinfache Chance auf die 18 roten Zahlen. Französisch: Rouge.Ganz lesen → und verdoppelt nach jedem Verlust, nach einem Gewinn beginnt er von vorn. Das Tischmaximum beträgt $500. (a) Wie viele Verluste in Folge bringen die ProgressionStrategieProgressionJede Regel, die den Einsatz anhand früherer Ergebnisse ändert. Negative Progressionen erhöhen ihn nach Verlusten, positive nach Gewinnen.Ganz lesen → zum Scheitern? (b) Wie groß ist die WahrscheinlichkeitMathematikWahrscheinlichkeitMaß dafür, wie wahrscheinlich ein Ergebnis ist, von 0 bis 1 oder von 0% bis 100%. Eine Zahl: 1/37 = 2,70%.Ganz lesen → pro Zyklus? (c) Was ist beim Scheitern verloren? (d) Wie ändern sich die Antworten bei einem Limit von $5.000? (e) Macht irgendein Limit das System profitabel?
Lösungen (a)–(c)
Einsätze: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Der siebte wäre 640 > 500, also bringen sechs Verluste die Progression zum Scheitern. (b) p(Verlust) = 19/37 bei Rot; (19/37)⁶ = 0,0183, etwa 1,8% pro Zyklus. Ein Zyklus dauert im Durchschnitt etwa zwei Coups, also hat eine Sitzung mit 100 Coups etwa 50 Zyklen, und p(mindestens einmal Scheitern) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, das sind 63 Grund-EinheitenGeldEinheitDer Grundeinsatz, in dem ein System oder ein Spieler rechnet. Progressionen werden in Einheiten beschrieben, damit sie an jedem Tisch gelten.Ganz lesen →, gegenüber den $10, die der Zyklus gewinnen wollte.
Lösung (d)
Bei $5.000 sind Einsätze bis 2.560 erlaubt; der zehnte Einsatz, 5.120, wird abgelehnt. Neun Verluste bringen sie zum Scheitern: (19/37)⁹ ≈ 0,25% pro Zyklus, etwa 11% der Sitzungen mit 100 Coups. Verlust beim Scheitern: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. Der Spieler hat sich eine seltenere Katastrophe um den Preis einer größeren gekauft. Über viele Sitzungen betragen die erwarteten Kosten des Scheiterns p × Verlust ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 pro Zyklus beim Limit von $500 und 0,0025 × 5.110 = $12,8 bei $5.000; das ist, im Rahmen der Rundung, dieselbe Zahl, und es ist der erwartete VerlustMathematikErwarteter VerlustErwartungswert mal insgesamt gesetzter Betrag; der Betrag, der über eine Sitzung oder einen Zeitraum im Durchschnitt verloren geht.Ganz lesen → des Zyklus abzüglich der $10, die die Gewinnzyklen einbringen.
Lösung (e)
Nein. Erwarteter Verlust pro Zyklus = (erwarteter Gesamteinsatz im Zyklus) / 37, bei jedem Limit, weil jede Wette −1/37 ihrer selbst kostet. Das Limit entscheidet nur, wie sich der Verlust auf viele kleine Gewinne und wenige große Verluste verteilt. Ohne Limit und mit unendlicher BankrollGeldBankrollDer gesamte Betrag, der für das Spiel beiseitegelegt wurde (Spielkapital). Bankroll-Management ist die Entscheidung, wie viel davon pro Wette und pro Sitzung riskiert wird.Ganz lesen → würde die Progression „funktionieren“, in dem Sinn, dass sie nie scheiterte, und sie würde auch einen unbegrenzten Betrag setzen, mit einem erwarteten Verlust von 2,70% dieses unbegrenzten Betrags. Das TischlimitTischTischlimitKleinste und größte erlaubte Wette. Das Maximum ist es, was Verdopplungsprogressionen stoppt.Ganz lesen → ist nicht das, was MartingaleStrategieMartingaleProgression, die die Wette nach jedem Verlust verdoppelt. Was sie leistet und was nicht, steht im Bereich Strategie.Ganz lesen → am Funktionieren hindert. Die Arithmetik ist es.
Zwei echte Tische
Thorps Beispiel ist ein $1-Tisch mit $1.000 Maximum, an dem ein Spieler hofft, Dollar für Dollar $30 für ein Abendessen zu gewinnen. Die Einsätze 1, 2, 4 … 512 erlauben zehn Wetten, also bringen zehn Verluste in Folge die Progression zum Scheitern: einmal in 785 Zyklen an einem europäischen Kessel (einmal in 613 an einem amerikanischen), zum Preis von $1.023. Dreißig Zyklen gelingen alle in 96,2% der Fälle. Die übrigen 3,8% verlieren etwa $1.000, und das durchschnittliche Ergebnis des Abends ist −$9,17, genau 1/37 der $339, die die dreißig Zyklen im Durchschnitt setzen. Ein $5-Tisch mit $2.000 Maximum ist nicht anders: Einsätze bis $1.280 erlauben neun Wetten, und das Scheitern kommt einmal in 403 Zyklen an einem europäischen Kessel (einmal in 323 an einem amerikanischen) und kostet $2.555.
Ein reicher Spieler
Geben Sie der Progression statt eines niedrigen Limits eine tiefe Bankroll: 1.000 Einheiten, eine Einheit als Grundeinsatz und 1.000 Coups auf Rot, wobei sie wieder bei einer Einheit beginnt, sobald die nächste Verdopplung mehr ist als das, was übrig ist. Wir haben eine Million solcher Abende simuliert. An einem europäischen Kessel beenden 52% den Abend im Plus, 21% verlieren alles, und das durchschnittliche Ergebnis ist −124 Einheiten. Selbst in einem Spiel ohne ZeroKesselZeroDas einzelne grüne Fach, das keine einfache Chance, kein Dutzend und keine Kolonne abdeckt; die Quelle des Hausvorteils. Auch: einfache Zero, 0.Ganz lesen →, in dem jede Wette fair ist, würden nur etwa 60% im Plus enden. Der übliche Abend ist ein kleiner Gewinn; den Durchschnitt bezahlen die Abende, die bei null enden.
Die Lehre
Casinos setzen Limits, um ihre eigene VarianzMathematikVarianzEin Maß dafür, wie weit die Ergebnisse um den Erwartungswert streuen. Hoch bei der vollen Zahl, niedrig bei einfachen Chancen.Ganz lesen → zu begrenzen, nicht um Systeme zu schlagen. Dass Martingale scheitert, ist ein Nebeneffekt, über den sie sich freuen, und die Arithmetik würde sie ohnehin schlagen. Wer glaubt, das Limit sei das Problem, hat den Abgrund gefunden und ihn für den Hang gehalten.
Formel
Fragen
Sie lässt Sie bis zu einem höheren Limit überleben, bei dem das Scheitern seltener und teurer ist. Der erwartete Verlust pro Dollar bleibt unverändert.
Einsätze 10, 30, 70, 150, 310: Das Limit von $500 wird nach fünf Verlusten erreicht, und das Scheitern kostet $570. Dieselben 2,70%.
Damit ein einzelner Spieler nicht mehr setzen kann, als die Reserve des Casinos bequem auszahlen kann. Varianzmanagement.
Mathe zum Mitdenken
Versuchen Sie es zuerst selbst. Jede Lösung ist eingeklappt; öffnen Sie sie, wenn Sie so weit sind.
Eine MartingaleStrategieMartingaleProgression, die die Wette nach jedem Verlust verdoppelt. Was sie leistet und was nicht, steht im Bereich Strategie.Ganz lesen → beginnt mit $100 auf RotWetteRotEinfache Chance auf die 18 roten Zahlen. Französisch: Rouge.Ganz lesen → und erlaubt sich höchstens n Wetten pro Zyklus: Nach n Verlusten in Folge gibt sie auf und beginnt von vorn. Schreiben Sie das durchschnittliche Ergebnis eines Zyklus als Formel in n und rechnen Sie es für 5, 6 und 7 Wetten an einem europäischen Kessel aus.
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Antwort Der Durchschnitt ist 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 bei 5 Wetten, −$17,35 bei 6 und −$20,52 bei 7. Mehr Wetten zuzulassen macht den durchschnittlichen Zyklus schlechter, nicht besser.
Ein Zyklus gewinnt $100, außer wenn alle n Wetten verlieren, was mit Wahrscheinlichkeit qⁿ geschieht, wobei q = 19/37. Verlieren alle, summieren sich die Einsätze 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ zu 100 × (2ⁿ − 1). Der Durchschnitt ist also 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Hier ist 2q = 38/37, etwas mehr als 1, also wächst (2q)ⁿ mit n, und der Durchschnitt fällt: n = 5 ergibt 1,1426 und −$14,26; n = 6 ergibt 1,1735 und −$17,35; n = 7 ergibt 1,2052 und −$20,52. Eine längere Leiter verliert seltener, in 3,6%, 1,8% und 0,9% der Zyklen, aber jeder Verlust ist doppelt so groß, und pro Zyklus geht mehr Geld über den Tisch, zu 2,70% jeder Wette.
An einem amerikanischen Kessel ist 2q = 40/38, und die Zahlen lauten −$29,24, −$36,04 und −$43,20 (Taylor, 2021). In einem Spiel ohne ZeroKesselZeroDas einzelne grüne Fach, das keine einfache Chance, kein Dutzend und keine Kolonne abdeckt; die Quelle des Hausvorteils. Auch: einfache Zero, 0.Ganz lesen → ist 2q = 1, und jeder Zyklus ergibt im Durchschnitt genau null, wie lang die Leiter auch ist.
Die „große Martingale“ verdoppelt den Einsatz nach einem Verlust und addiert eine EinheitGeldEinheitDer Grundeinsatz, in dem ein System oder ein Spieler rechnet. Progressionen werden in Einheiten beschrieben, damit sie an jedem Tisch gelten.Ganz lesen →, sodass die Einsätze 1, 3, 7, 15, 31 … lauten. Wie viel liegen Sie im Plus, wenn der erste Gewinn bei der 1., 2., 3. oder k-ten Wette kommt? Wie oft scheitert ein Zyklus bei einer Einheit von $10 und einem Maximum von $500, und was kostet ein Zyklus im Durchschnitt?
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Antwort Ein Gewinn bei der k-ten Wette bringt Sie k Einheiten ins Plus: +1, +2, +3 und so weiter. Bei $10 und $500 scheitert der Zyklus nach fünf Verlusten, in 3,57% der Zyklen, mit −$570. Im Durchschnitt verliert ein Zyklus $2,32 von $85,73 Einsatz: 2,70%.
Der k-te Einsatz beträgt 2ᵏ − 1 Einheiten: 1, 3, 7, 15, 31. Die ersten k − 1 Einsätze summieren sich zu 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Ein Gewinn bei der k-ten Wette bringt 2ᵏ − 1, also endet der Zyklus (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k Einheiten im Plus: eine zusätzliche Einheit für jeden Verlust vor dem Gewinn.
Bei $10 pro Einheit lauten die Einsätze $10, $30, $70, $150 und $310; der nächste, $630, liegt über dem Maximum von $500. Fünf Verluste in Folge, (19/37)⁵ = 3,57%, kosten 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Durchschnitt: Die Gewinne bringen $10 × k mit Wahrscheinlichkeit (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 für k = 1 bis 5, und das Scheitern kostet $570 mit Wahrscheinlichkeit 3,57%; zusammen −$2,32. Der gesetzte Betrag liegt im Durchschnitt bei $85,73 pro Zyklus, und 2,32/85,73 = 2,70%. Die gewöhnliche Martingale scheitert am selben Tisch nach sechs Verlusten, in 1,83% der Zyklen, mit −$630, und verliert $1,74 von $64,20 Einsatz: wieder 2,70%.
Ein Spieler plant eine Martingale auf Rot mit einer ersten Wette von $1 an einem Tisch mit einem Limit von $1.000, also sind zehn Wetten möglich: $1, $2, $4 und so weiter bis $512. Wie oft verliert ein Zyklus alle zehn, wie lange dauert das im Durchschnitt, und wie oft endet ein Abend mit 200 Wetten so?
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Antwort Ein Zyklus verliert alle zehn etwa einmal in 784 Zyklen, was $1.023 kostet. Das sind im Durchschnitt etwa 1.600 Wetten, und ein Abend mit 200 Wetten stößt in etwa 11% der Fälle an die Wand. Ein Zyklus verliert trotzdem im Durchschnitt $0,31 von $11,31 Einsatz: 2,70%.
Eine Wette auf Rot verliert mit Wahrscheinlichkeit 19/37, die Zero eingeschlossen. Zehnmal in Folge: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, etwa 1 von 784. Die Einsätze 1 + 2 + 4 + … + 512 ergeben zusammen $1.023.
Ein Zyklus dauert im Durchschnitt 2,05 Wetten, 784 Zyklen also etwa 1.600 Wetten. Coup für Coup gezählt, taucht eine Serie von zehn Verlusten irgendwo in 200 Wetten in 11,3% der Fälle auf.
Zwischen den Katastrophen gewinnt der Spieler $1 pro Zyklus: etwa $783 vor dem schlechten, dann −$1.023, über die ganze Strecke etwa −$240. Pro Zyklus: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Gesetztes Geld pro Zyklus: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Und −0,31/11,31 = −2,70%.
Zum Vergleich eine erste Wette von $10 bei einem Limit von $500, sechs Wetten: Die Wand kommt einmal in 55 Zyklen, und ein Abend mit 200 Wetten trifft sie in 84% der Fälle. Ein höheres Limit macht den Absturz seltener und größer, nicht billiger.
Zum Schmunzeln
Seltener und größer, bei jedem Limit. Das Produkt ist konstant.
Quellen
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.