Spielverlauf: Eine Martingale-Sitzung
Zehn Dollar auf Rot, nach jedem Verlust verdoppelt, an einem Tisch mit $500 Maximum. Coup für Coup, einschließlich des Coups, der alles beendet.
Eine simulierte Martingale-Sitzung mit einer Bankroll von $1.000. Einundvierzig kleine Gewinne, dann sechs Verluste in Folge und eine abgelehnte siebte Wette. Die Sitzung endet mit $220 Minus, nachdem es zwischenzeitlich $410 im Plus war; genau das tut das System.
Der Plan
Setzen Sie $10 auf RotWetteRotEinfache Chance auf die 18 roten Zahlen. Französisch: Rouge.Ganz lesen →. Nach einem Verlust verdoppeln Sie, nach einem Gewinn gehen Sie zurück auf $10. Das TischlimitTischTischlimitKleinste und größte erlaubte Wette. Das Maximum ist es, was Verdopplungsprogressionen stoppt.Ganz lesen → liegt bei $500, die Einsätze lauten also 10, 20, 40, 80, 160, 320 und dann eine Wette über $640, die der Tisch ablehnt. An sechs Verlusten in Folge scheitert das System; jeder Versuch hat dafür (19/37)⁶ ≈ 1,8%, und eine Sitzung mit 100 Coups enthält etwa 50 Versuche. Zu erwarten sind etwa 60% Wahrscheinlichkeit, innerhalb von 100 Coups zu scheitern, und ein Verlust von $630, wenn es so kommt.
Coups 1–30
Gewöhnliche MartingaleStrategieMartingaleProgression, die die Wette nach jedem Verlust verdoppelt. Was sie leistet und was nicht, steht im Bereich Strategie.Ganz lesen →: Serien von ein bis drei Verlusten, jede beendet durch einen Gewinn, der netto +$10 bringt. Bis Coup 30 gab es 17 Gewinne, die jeweils einen Zyklus schlossen, und wir liegen mit $170 im Plus. Der bisher größte Einsatz waren $80 nach drei Verlusten. Es fühlt sich an wie eine Maschine zum Drucken von $10-Scheinen.
Coups 31–60
Mehr vom Gleichen, mit einem Zyklus aus vier Verlusten (Einsätze bis $160, dann ein Gewinn), der kurz $310 auf den Tisch brachte und sich wie Mut anfühlte. Nach 60 Coups: 41 abgeschlossene Zyklen, $410 im Plus, und der Tiefpunkt der BankrollGeldBankrollDer gesamte Betrag, der für das Spiel beiseitegelegt wurde (Spielkapital). Bankroll-Management ist die Entscheidung, wie viel davon pro Wette und pro Sitzung riskiert wird.Ganz lesen → lag bei $1.040. Das Histogramm jeder Martingale-Sitzung sieht über den größten Teil seiner Länge so aus.
Coups 61–66
V V V V V V. Einsätze 10, 20, 40, 80, 160, 320: $630 verloren. Die nächste Wette wären $640, das Limit liegt bei $500. Das System ist gescheitert. Wir können $500 setzen (und selbst bei einem Gewinn bliebe der Zyklus mit $130 im Minus) oder auf $10 zurückgehen und den Verlust hinnehmen. Sechsmal SchwarzWetteSchwarzEinfache Chance auf die 18 schwarzen Zahlen. Französisch: Noir.Ganz lesen → oder ZeroKesselZeroDas einzelne grüne Fach, das keine einfache Chance, kein Dutzend und keine Kolonne abdeckt; die Quelle des Hausvorteils. Auch: einfache Zero, 0.Ganz lesen → in Folge hat eine WahrscheinlichkeitMathematikWahrscheinlichkeitMaß dafür, wie wahrscheinlich ein Ergebnis ist, von 0 bis 1 oder von 0% bis 100%. Eine Zahl: 1/37 = 2,70%.Ganz lesen → von 1,8% pro Zyklus. Wir hatten etwa 45 Zyklen gespielt. Die Wahrscheinlichkeit, diesen Punkt irgendwo in 45 Zyklen zu erreichen, lag bei etwa 55%. Das war kein Pech; das war der Median.
- p10 −$1.000
- p25 −$1.000
- Median −$1.000
- p75 +$790
- p90 +$1.690
Die Abrechnung
Nach 60 Coups $410 im Plus, nach 66 $220 im Minus. Insgesamt gesetzt: etwa $2.100 in 66 Coups, gegenüber $660 bei einem Spieler mit gleichbleibenden $10. Der erwartete VerlustMathematikErwarteter VerlustErwartungswert mal insgesamt gesetzter Betrag; der Betrag, der über eine Sitzung oder einen Zeitraum im Durchschnitt verloren geht.Ganz lesen → auf $2.100 UmsatzGeldUmsatzDer insgesamt gesetzte Betrag über eine Sitzung oder einen Zeitraum, wieder gesetzte Gewinne mitgezählt. Auch: Handle, Action.Ganz lesen → beträgt $57; unsere tatsächlichen −$220 liegen etwa ein Drittel einer StandardabweichungMathematikStandardabweichungQuadratwurzel der Varianz; der typische Abstand eines Ergebnisses vom Erwartungswert.Ganz lesen → darunter, was bei einem System, dessen Verteilung einen langen linken Ausläufer hat, nicht ungewöhnlich ist. Hätten wir bei Coup 60 mit einem Stop-WinStrategieStop-WinEin vorab festgelegtes Gewinnziel, bei dem Sie die Sitzung beenden.Ganz lesen → von $400 aufgehört, wären wir mit $410 im Plus gegangen, und die nächste Sitzung hätte dieselben 1,8% pro Zyklus mitgebracht.
Was die Sitzung zeigt
Die Martingale verwandelt eine Wette mit 48,65% in eine Folge, die 98% ihrer Zyklen gewinnt und in den übrigen 2% 63 EinheitenGeldEinheitDer Grundeinsatz, in dem ein System oder ein Spieler rechnet. Progressionen werden in Einheiten beschrieben, damit sie an jedem Tisch gelten.Ganz lesen → verliert. Sie ändert nichts am erwarteten Verlust pro Dollar; sie vervielfacht die Dollar. Der Spieler mit gleichbleibendem Einsatz neben uns setzte ein Drittel so viel und verlor im Durchschnitt ein Drittel so viel. Wer dieses System ein Jahr lang spielt, gewinnt die meisten Abende und verliert das Jahr.
Wie oft eine Verlustserie kommt
Eine einfache Chance verliert an einem Kessel mit einer Zero 19 von 37 Coups. Jede Zeile zeigt die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Reihe von Coups vollständig verloren geht, und was ein Martingale-Spieler, der nach jedem Verlust verdoppelt, bis dahin verloren hat.
| Verluste in Folge | Wahrscheinlichkeit | etwa 1 von | bisher verloren | nächster Einsatz |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26,4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13,5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7,0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3,6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1,8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0,94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0,48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0,25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0,13% | 784 | $1.023 | $1.024 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $2.047 | $2.048 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $4.095 | $4.096 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $8.191 | $8.192 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $16.383 | $16.384 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $32.767 | $32.768 |
Die Wahrscheinlichkeit ist 19/37, einmal pro Verlust mit sich selbst multipliziert, gerechnet ab einem bestimmten Coup. Eine lange Sitzung hat viele Coups, an denen eine solche Serie beginnen kann; über einen Abend ist sie daher weit wahrscheinlicher, als eine einzelne Zeile vermuten lässt.
Fragen
Dann scheitert das System erst an neun Verlusten statt an sechs: 0,25% pro Zyklus und $5.110 Verlust, wenn es geschieht. Ein selteneres Kliff, ein höheres Kliff, dieselben −2,70%.
Die Wette hätte in 48,65% der Fälle gewonnen und den Zyklus trotzdem bei −$130 belassen. Nach einer gescheiterten Martingale gibt es keinen guten Zug; es gibt nur den Einsatz, den Sie als Nächstes wählen.
Ja, für diese Sitzung. Nicht für den Mittelwert über alle Sitzungen.
Mathe zum Mitdenken
Versuchen Sie es zuerst selbst. Jede Lösung ist eingeklappt; öffnen Sie sie, wenn Sie so weit sind.
An einem Tisch mit Limits von $1 bis $500 beginnt ein Spieler mit der MartingaleStrategieMartingaleProgression, die die Wette nach jedem Verlust verdoppelt. Was sie leistet und was nicht, steht im Bereich Strategie.Ganz lesen → mit $1 auf RotWetteRotEinfache Chance auf die 18 roten Zahlen. Französisch: Rouge.Ganz lesen → an einem Kessel mit einer ZeroKesselZeroDas einzelne grüne Fach, das keine einfache Chance, kein Dutzend und keine Kolonne abdeckt; die Quelle des Hausvorteils. Auch: einfache Zero, 0.Ganz lesen →. Nach wie vielen Verlusten in Folge ist mit dem Verdoppeln Schluss, wie viel ist bis dahin verloren, und wie oft geschieht das?
Lösung anzeigen
Antwort Nach neun Verlusten: $511 verloren, und die nächste Wette wäre $512. Es geschieht in etwa einem von 403 Zyklen.
Die Einsätze sind 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 und 256: zusammen $511. Der zehnte wäre $512, über dem Limit. Eine Wette von $500, die gewinnt, lässt den Spieler immer noch $11 im Minus; eine, die verliert, $1.011 im Minus.
Rot verliert mit der Wahrscheinlichkeit 19/37, neun Verluste in Folge haben also die Wahrscheinlichkeit (19/37)⁹ ≈ 0,25%, etwa einmal in 403 Zyklen. Jeder abgeschlossene Zyklus gewinnt $1, also kann der Spieler mit etwa $402 an kleinen Gewinnen vor dem einen Verlust von $511 rechnen, und die 2,70% von allem Gesetzten gehen im Durchschnitt trotzdem verloren.
An einem Kessel mit Doppelzero beträgt die Wahrscheinlichkeit (20/38)⁹, etwa einmal in 323. Bollman (2021) nennt „etwa 1 von 833“, das ist (18/38)⁹, die Wahrscheinlichkeit von neun Gewinnen in Folge.
Zum Schmunzeln
Einundvierzig kleine Gewinne und ein großer Verlust. Das ist das ganze System.
Quellen
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”