Wahrscheinlichkeit von Serien

Mathe zum Mitdenken

Versuchen Sie es zuerst selbst. Jede Lösung ist eingeklappt; öffnen Sie sie, wenn Sie so weit sind.

1. Wie viele Coups an einem europäischen Kessel dauert es im Durchschnitt, bis jede der 37 Zahlen mindestens einmal gekommen ist?

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   Antwort Im Durchschnitt etwa 155 Coups; der Median liegt bei 147.

   Zählen Sie die Wartezeit eine neue Zahl nach der anderen. Der erste Coup zeigt immer eine neue Zahl. Haben Sie 1 Zahl gesehen, sind 36 von 37 FächernAusstattungFachEines der 37 nummerierten Fächer der Drehscheibe (Nummernfach). Auch: Slot, Cup.Ganz lesen → neu, die nächste neue Zahl braucht also im Durchschnitt 37/36 Coups. Haben Sie k Zahlen gesehen, braucht sie 37/(37 − k).

   Addieren Sie die Wartezeiten: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4,20 = 155,5 Coups.

   Das meiste davon entfällt auf das Ende. Die letzte Zahl allein braucht im Durchschnitt 37 Coups, die letzten fünf etwa 85. An einem amerikanischen Kessel ergibt dieselbe Summe etwa 161. Das ist das Sammelbilderproblem (Coupon Collector’s Problem); Wizard of Odds nennt denselben Mittelwert.

2. Wie viele verschiedene Zahlen sollten Sie in 37 Coups an einem europäischen Kessel erwarten, einem Coup für jedes Fach?

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   Antwort Etwa 23,6. Ungefähr ein Drittel der Zahlen, etwa 13, kommt gar nicht.

   Nehmen Sie eine Zahl, etwa die 17. In jedem Coup bleibt sie mit der Wahrscheinlichkeit 36/37 aus, sie verfehlt also alle 37 Coups mit der Wahrscheinlichkeit (36/37)³⁷ ≈ 0,363.

   Jede Zahl hat dieselbe Wahrscheinlichkeit, im Durchschnitt fehlen also 37 × 0,363 ≈ 13,4 Zahlen, und 37 − 13,4 ≈ 23,6 kommen, viele davon zweimal oder öfter.

   Roulettespieler nennen das das Drittelgesetz. Es ist kein Gesetz, nur die Arithmetik der Wiederholungen: In einer Folge so lang wie der Kessel setzt etwa ein Drittel der Zahlen aus, an einem fehlerfreien Kessel wie an jedem anderen. Bei 38 Fächern beträgt der Anteil ebenfalls (37/38)³⁸ ≈ 0,363; bei einem großen Kessel pendelt er sich nahe 1/e ≈ 0,368 ein.

3. Ein Freund zeigt Ihnen zwei Listen mit je 50 Farben, RotWetteRotEinfache Chance auf die 18 roten Zahlen. Französisch: Rouge.Ganz lesen → oder SchwarzWetteSchwarzEinfache Chance auf die 18 schwarzen Zahlen. Französisch: Noir.Ganz lesen →, angeblich von einem Kessel, bei dem die ZerosKesselZeroDas einzelne grüne Fach, das keine einfache Chance, kein Dutzend und keine Kolonne abdeckt; die Quelle des Hausvorteils. Auch: einfache Zero, 0.Ganz lesen → weggelassen wurden. Die eine wechselt 25-mal die Farbe, und ihre längste Serie ist sechs. Die andere wechselt 35-mal und kommt nie über drei hinaus. Welche ist erfunden?

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   Antwort Die zweite. Eine echte Liste wechselt etwa 24- oder 25-mal. Eine mit 35 Wechseln kommt etwa einmal in 500 Listen vor, und eine ohne Serie über drei etwa zweimal in 100.

   Jede neue Farbe wiederholt entweder die letzte oder wechselt, je zur Hälfte, also ergeben 49 Gelegenheiten zum Wechsel im Durchschnitt 24,5 Wechsel, plus oder minus etwa 3,5. Fünfunddreißig liegt drei dieser Schritte über dem Durchschnitt; ein fehlerfreier Kessel liefert so viele Wechsel etwa einmal in 500 Listen.

   Die Serien erzählen dieselbe Geschichte. Eine echte Liste von 50 hat in etwa 98% der Fälle eine Serie von vier oder mehr, und ihre längste Serie ist meist fünf oder sechs.

   Menschen, die eine zufällige Liste erfinden sollen, wechseln zu oft, weil eine Serie von vier oder fünf für sie wie ein Muster aussieht. Taylor (2021) zeigt dasselbe Merkmal in Münzwurflisten, die Studierende erfunden haben: Echter Zufall bildet mehr Serien, als Menschen erwarten.

4. Ein Buch mit Casinogeschichten erzählt von einem Spieler, dessen Zahl fünfmal hintereinander kam, und nennt das einen Rekord. Wie selten ist das an einem europäischen Kessel? Und wie oft sollte es irgendwo in einem Casino mit 20 Tischen geschehen, an denen jeweils 40 Coups pro Stunde gespielt werden, Tag und Nacht?

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   Antwort Eine vorher genannte Zahl fünfmal nacheinander: 1 von 69 Millionen. Irgendeine Zahl, die nach ihrem ersten Erscheinen noch viermal kommt: 1 von 1,87 Millionen. Dieses Casino spielt etwa 7 Millionen Coups im Jahr, sollte also drei- oder viermal im Jahr eine Fünferserie sehen.

   Eine vorher genannte Zahl kommt in jedem Coup mit Wahrscheinlichkeit 1/37, fünfmal hintereinander also mit Wahrscheinlichkeit (1/37)⁵ = 1 von 69.343.957. Aber niemand nennt die Zahl vorher. Was auch immer zuerst kommt, die nächsten vier Coups müssen es wiederholen: (1/37)⁴ = 1 von 1.874.161.

   20 Tische × 40 Coups × 24 Stunden × 365 Tage = 7.008.000 Coups im Jahr. Jeder Coup kann eine Serie beginnen, also erwartet das Casino 7.008.000/1.874.161 ≈ 3,7 Fünferserien im Jahr.

   Einen offiziellen Rekord dieser Art gibt es nicht, und es braucht auch keinen: Ein seltenes Ereignis an einem Tisch ist in einem ganzen Casino Routine, und die Geschichten werden über den Tisch erzählt, an dem es geschah. Die Geschichte bei Goldman (2007) spielt an einem Kessel mit Doppelzero, wo die Zahlen 1 von 79 Millionen und 1 von 2,09 Millionen lauten.