Ruinwahrscheinlichkeit

Die Frage

Sie haben a EinheitenGeldEinheitDer Grundeinsatz, in dem ein System oder ein Spieler rechnet. Progressionen werden in Einheiten beschrieben, damit sie an jedem Tisch gelten.Ganz lesen → BankrollGeldBankrollDer gesamte Betrag, der für das Spiel beiseitegelegt wurde (Spielkapital). Bankroll-Management ist die Entscheidung, wie viel davon pro Wette und pro Sitzung riskiert wird.Ganz lesen → und wollen a + b Einheiten erreichen, indem Sie jeweils eine Einheit auf eine einfache ChanceWetteEinfache ChanceRot/Schwarz, Ungerade/Gerade, Hoch/Niedrig. 18 Zahlen, zahlt 1:1.Ganz lesen → setzen, mit der Gewinn-WahrscheinlichkeitMathematikWahrscheinlichkeitMaß dafür, wie wahrscheinlich ein Ergebnis ist, von 0 bis 1 oder von 0% bis 100%. Eine Zahl: 1/37 = 2,70%.Ganz lesen → p = 18/37 und der Verlustwahrscheinlichkeit q = 19/37. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie das Ziel erreichen, bevor Sie bei null sind? Die Antwort wurde in den 1650er-Jahren von Pascal, Fermat und Huygens erarbeitet und ist eines der ältesten Ergebnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Blaise Pascal

Die Formel für den Ruin des Spielers

P(Ziel erreicht) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Die RuinwahrscheinlichkeitMathematikRuinwahrscheinlichkeitDie Wahrscheinlichkeit, die gesamte Bankroll zu verlieren, bevor ein Ziel oder eine bestimmte Zahl von Coups erreicht ist.Ganz lesen → ist eins minus diesen Wert. Mit q/p = 19/18 ≈ 1,0556 wächst das Verhältnis exponentiell mit der Zahl der Einheiten, daher bestraft die Formel kleine Einheiten schwer: Je mehr Wetten es braucht, das Ziel zu erreichen, desto öfter wird unterwegs die Maut von 2,70% gezahlt.

Wie man es liest

Kleinere Einheiten schaden. Wer versucht, $500 mit Einsätzen von $10 zu verdoppeln, schafft es in 6% der Fälle; mit einem einzigen Einsatz von $500 in 48,6% der Fälle. Kühnes Spiel, weniger und größere Wetten, maximiert die Wahrscheinlichkeit, in einem Spiel mit negativem Erwartungswert ein Ziel zu erreichen, weil es die Zahl der Male minimiert, in denen der Vorteil wirkt. Es maximiert auch die VarianzMathematikVarianzEin Maß dafür, wie weit die Ergebnisse um den Erwartungswert streuen. Hoch bei der vollen Zahl, niedrig bei einfachen Chancen.Ganz lesen → dessen, was Ihnen geschieht, und der Abend ist schnell vorbei. Der Satz heißt „Kühnes Spiel ist optimal“ und wurde 1965 von Dubins und Savage bewiesen.

Wo das Problem begann

Die Frage ist älter als das Roulette. 1656 stellte Pascal Fermat eine Aufgabe: Zwei Spieler werfen drei Würfel, jeder beginnt mit 12 Spielmarken; ein Wurf von 11 bewegt eine Marke in die eine Richtung, ein Wurf von 14 in die andere. Beide lösten sie, und Huygens, der durch einen Brief des Mathematikers Pierre de Carcavi davon erfuhr, druckte sie 1657 als fünfte Aufgabe des ersten Buchs über Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit der Antwort und ohne Beweis. Die Elf lässt sich auf 27 Arten werfen, die Vierzehn nur auf 15, also geht jede Marke in 9 von 14 Fällen in Richtung des ersten Spielers, und nach der Formel oben ist es bei je 12 Marken etwa 1.157-mal wahrscheinlicher, dass er alles gewinnt, als dass er alles verliert. Ein Hausvorteil von 2,70% ist viel kleiner, aber dieselbe Formel zeigt, was er über viele Wetten bewirkt.

Eine echte kühne Wette

Im April 2004 verkaufte Ashley Revell, ein junger Engländer, fast alles, was er besaß, einschließlich seiner Kleidung, und brachte $135.300 ins Plaza in Las Vegas. Nach einigen kleinen Wetten setzte er den ganzen Betrag auf RotWetteRotEinfache Chance auf die 18 roten Zahlen. Französisch: Rouge.Ganz lesen →, ein einziges Mal. Die KugelAusstattungKugelDie kleine Kugel, die gegen die Drehrichtung der Drehscheibe in den Kugellauf eingeworfen wird. Moderne Kugeln bestehen aus Ivorine oder Teflon, 18–21 mm.Ganz lesen → fiel auf die rote 7, und er ging mit $270.600 hinaus. An einem Kessel mit DoppelzeroKesselZeroDas einzelne grüne Fach, das keine einfache Chance, kein Dutzend und keine Kolonne abdeckt; die Quelle des Hausvorteils. Auch: einfache Zero, 0.Ganz lesen → hatte dieser eine Coup eine Wahrscheinlichkeit von 47,37% und kostete ihn im Durchschnitt $7.121, die 5,26% Hausvorteil auf eine einzige Wette. Auf Wetten zu $10 verteilt, wäre dasselbe Ziel nahezu aussichtslos gewesen. Kühnes Spiel macht die Wette nicht gut; es macht sie so kurz wie möglich.

Ruinwahrscheinlichkeit ohne Ziel

Wenn Sie einfach spielen, bis Sie ruiniert sind oder nach N Coups aufhören, lautet die Frage: „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass meine Bankroll innerhalb von N Coups null erreicht?“ Für allgemeines N gibt es keine geschlossene Formel, aber die Simulatoren auf dieser Seite berechnen sie: Eine Bankroll von $500 bei $10 auf Rot ist in 100 Coups fast nie ruiniert (unter 1%), in 500 Coups in etwa 9% der Fälle und in 5.000 Coups in etwa 95%. Ohne Abbruchregel strebt die Wahrscheinlichkeit gegen 100%, und das ist die langfristige Fassung des HausvorteilsMathematikHausvorteilDer Anteil jedes Einsatzes, den das Casino im Durchschnitt behält: 2,70% im europäischen Roulette.Ganz lesen →.

Konvergenz auf lange Sicht

Wie lange, und wie weit ins Plus

Zwei weitere klassische Ergebnisse beantworten Fragen, die Spieler tatsächlich stellen. Ohne Ziel halten gleichbleibende Einsätze auf einfache Chancen im Durchschnitt 37 Coups je Einheit Bankroll an einem europäischen Kessel und 19 an einem amerikanischen, weil jeder Coup im Durchschnitt 1/37 einer Einheit kostet (1/19 an einem amerikanischen Kessel): 100 Einheiten halten im Durchschnitt 3.700 Coups, obwohl die Hälfte solcher Sitzungen nach 3.134 vorbei ist (siehe Sitzungsdauer und Kosten). Und wie groß die Bankroll auch ist, die Wahrscheinlichkeit, an einem europäischen Kessel jemals k Einheiten im Plus zu sein, beträgt (18/19)ᵏ. Das sind 95% für eine Einheit und 58% für zehn, aber keine Bankroll, so groß sie auch sei, bringt es auf eine Wahrscheinlichkeit von wenigstens der Hälfte, jemals 13 Einheiten im Plus zu sein; an einem amerikanischen Kessel beträgt die Wahrscheinlichkeit (9/10)ᵏ und fällt bei 7 Einheiten unter die Hälfte.

Sitzungsdauer und KostenAmerikanisches Roulette

Eine Bankroll für eine Fifty-fifty-Chance

Drehen Sie die Frage um: Wie viel müssen Sie mitbringen, um mindestens eine Fifty-fifty-Chance zu haben, einen bestimmten Betrag zu gewinnen, bevor Sie alles verlieren? Für einen kleinen Gewinn nicht viel. Für einen größeren steigt die nötige Bankroll steil an, und ab einem gewissen Punkt reicht keine Bankroll mehr, weil selbst eine unendliche weniger als eine Fifty-fifty-Chance gibt, jemals so weit ins Plus zu kommen. Taylor (2021) sagt es anders: An einem amerikanischen Kessel müssen Sie, um eine Fifty-fifty-Chance auf 100 Einheiten zu haben, mit 94 beginnen und riskieren 94, um 6 zu gewinnen. An einem europäischen Kessel bräuchten Sie 88.

Die praktische Lehre

Entscheiden Sie, was Sie erreichen wollen. Ist das Ziel ein bestimmter Gewinn, setzen Sie hoch und selten. Ist das Ziel ein langer Abend, setzen Sie klein und nehmen Sie hin, dass der Vorteil seine 2,70% von einem großen UmsatzGeldUmsatzDer insgesamt gesetzte Betrag über eine Sitzung oder einen Zeitraum, wieder gesetzte Gewinne mitgezählt. Auch: Handle, Action.Ganz lesen → nimmt. Ist das Ziel beides, muss etwas nachgeben, und meist ist es das Ziel.

Formel

Fragen