Aufgabe: Wie lange bis zur Zero
Die Zero fällt im Durchschnitt einmal in 37 Coups. Wie lange wartet man tatsächlich, und was bedeutet das für einen Spieler auf einfache Chancen?
Das Warten auf die Zero ist geometrisch verteilt: Mittelwert 37 Coups, Median 25, und jedes zwanzigste Warten übersteigt 110 Coups. In einer Sitzung mit 200 Coups auf eine einfache Chance sind im Durchschnitt 5,4 Zeros zu erwarten, und man sieht zwischen 1 und 10.
Die Aufgabe
Die ZeroKesselZeroDas einzelne grüne Fach, das keine einfache Chance, kein Dutzend und keine Kolonne abdeckt; die Quelle des Hausvorteils. Auch: einfache Zero, 0.Ganz lesen → hat die WahrscheinlichkeitMathematikWahrscheinlichkeitMaß dafür, wie wahrscheinlich ein Ergebnis ist, von 0 bis 1 oder von 0% bis 100%. Eine Zahl: 1/37 = 2,70%.Ganz lesen → 1/37 pro Coup. (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in den nächsten 37 Coups keine Zero fällt? (b) Wie groß ist das mediane Warten? (c) Wie viele Zeros sollte ein Spieler in einer Sitzung mit 200 Coups auf eine einfache Chance erwarten, und wie groß ist die Spanne?
Lösungen
(a) (36/37)³⁷ = 36,3%. In mehr als einem Drittel der Fälle vergehen 37 Coups ganz ohne Zero, und das ist dieselbe Rechnung wie bei „mindestens ein Treffer auf eine volle ZahlWetteVolle ZahlEine einzelne Zahl, zahlt 35:1.Ganz lesen → in 37 Coups“ mit nur 63,7%. (b) Das Warten W ist geometrisch verteilt; p(W > k) = (36/37)ᵏ; der Median ist das k, bei dem dieser Wert 0,5 unterschreitet, also k ≈ 25. Die Hälfte der Wartezeiten beträgt 25 Coups oder weniger und die Hälfte mehr; der Mittelwert von 37 wird durch den langen Ausläufer nach oben gezogen. (c) Die Zeros in 200 Coups sind binomialverteilt mit dem Mittelwert 200/37 = 5,4 und der StandardabweichungMathematikStandardabweichungQuadratwurzel der Varianz; der typische Abstand eines Ergebnisses vom Erwartungswert.Ganz lesen → √(200 × (1/37) × (36/37)) ≈ 2,3. Eine Spanne von 95% reicht grob von 1 bis 10.
Was die Zero einen Spieler auf einfache Chancen kostet
Jede Zero kostet einen Einsatz, und Zeros sind der ganze Vorteil bei RotWetteRotEinfache Chance auf die 18 roten Zahlen. Französisch: Rouge.Ganz lesen →: Über 37 durchschnittliche Coups heben sich die 18 Gewinne und 18 Verluste auf, und die eine Zero ist das −1/37. In einer Sitzung mit 200 Coups à $10 kosten die erwarteten 5,4 Zeros $54, genau 200 × $10 / 37. Eine Sitzung mit 2 Zeros hatte $34 Glück; eine Sitzung mit 9 Zeros hatte $36 Pech und wird sich manipuliert anfühlen. An einem Tisch mit La PartageRegelLa PartageFranzösische Regel: Fällt die Zero, wird die Hälfte eines Einsatzes auf einfache Chance zurückgegeben. Halbiert den Hausvorteil auf diesen Wetten auf 1,35%.Ganz lesen → kostet jede Zero einen halben Einsatz, und die Zahlen halbieren sich.
Die Anschlussfrage
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zwei Zeros hintereinander? (1/37)² = 1/1.369. In einem Casino mit 20 Tischen zu je 50 Coups pro Stunde ist das etwa einmal alle 1,4 Stunden irgendwo eine DoppelzeroVarianteDoppelzeroDas Fach 00 des amerikanischen Kessels. Es hebt den Hausvorteil von 2,70% auf 5,26%.Ganz lesen →. Spieler, die das sehen, schließen, der Kessel sei kaputt; die Rechnung sagt, es ist ein ganz normaler Dienstag.
Probieren Sie es aus
Der Sitzungssimulator zählt die Zeros pro Sitzung. Lassen Sie ein paar hundert Mal 100 Coups laufen und tragen Sie die Zahl auf: Das Histogramm oben erscheint, mit seinem langen rechten Ausläufer. Aus dem Ausläufer kommen die Geschichten.
Formel
Fragen
An einem fairen nicht. An einem fehlerhaften KesselLaborFehlerhafter KesselEin Kessel, dessen physische Mängel manche Fächer wahrscheinlicher machen als 1/37. Selten und nur mit Tausenden aufgezeichneter Coups nachweisbar.Ganz lesen → könnte es jedes FachAusstattungFachEines der 37 nummerierten Fächer der Drehscheibe (Nummernfach). Auch: Slot, Cup.Ganz lesen → sein, und es würde Tausende von Coups dauern, das zu erkennen.
Es ist eine Wette mit 2,70% wie jede andere. Sie ändert die Form der Sitzung (eine Zero wird zum Gewinn) und nicht die Kosten.
Weil die Verteilung der Wartezeiten schief ist: viele kurze Wartezeiten, wenige sehr lange.
Zum Schmunzeln
Mittelwert 37, Median 25, und ein langer Ausläufer, in dem die Legenden leben.
Quellen
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.