Varianz
Warum sich eine volle Zahl und eine Wette auf Rot mit demselben erwarteten VerlustMathematikErwarteter VerlustErwartungswert mal insgesamt gesetzter Betrag; der Betrag, der über eine Sitzung oder einen Zeitraum im Durchschnitt verloren geht.Ganz lesen → wie verschiedene Spiele anfühlen.
Die Varianz misst, wie weit Ergebnisse um den Erwartungswert streuen. Pro gesetzter Einheit beträgt sie bei einer vollen Zahl etwa 34 und bei Rot etwa 1.
Die Formel für eine einzelne Wette
Bei einer Wette, die W zu 1 zahlt, mit der WahrscheinlichkeitMathematikWahrscheinlichkeitMaß dafür, wie wahrscheinlich ein Ergebnis ist, von 0 bis 1 oder von 0% bis 100%. Eine Zahl: 1/37 = 2,70%.Ganz lesen → p ist das Ergebnis pro EinheitGeldEinheitDer Grundeinsatz, in dem ein System oder ein Spieler rechnet. Progressionen werden in Einheiten beschrieben, damit sie an jedem Tisch gelten.Ganz lesen → +W mit der Wahrscheinlichkeit p und −1 mit der Wahrscheinlichkeit 1 − p. Der ErwartungswertMathematikErwartungswertDas durchschnittliche Ergebnis pro Wette auf lange Sicht. −1/37 des Einsatzes für jede übliche Wette im europäischen Roulette.Ganz lesen → ist pW − (1 − p) = −1/37. Die VarianzMathematikVarianzEin Maß dafür, wie weit die Ergebnisse um den Erwartungswert streuen. Hoch bei der vollen Zahl, niedrig bei einfachen Chancen.Ganz lesen → ist E[X²] − EV² = pW² + (1 − p) − (1/37)². Für eine volle ZahlWetteVolle ZahlEine einzelne Zahl, zahlt 35:1.Ganz lesen →: (1/37)(1225) + 36/37 − 0,0007 ≈ 34,08. Für RotWetteRotEinfache Chance auf die 18 roten Zahlen. Französisch: Rouge.Ganz lesen →: 18/37 + 19/37 − 0,0007 ≈ 0,999.
Was sie für eine Sitzung bedeutet
Varianzen addieren sich über unabhängige CoupsMathematikUnabhängige CoupsJeder Coup hat dieselben Wahrscheinlichkeiten, gleichgültig, was vorher war. Die Grundlage jeder Berechnung auf dieser Website.Ganz lesen →, also ist bei N Coups mit festem Einsatz die Varianz der Summe N × Einsatz² × σ², und die StandardabweichungMathematikStandardabweichungQuadratwurzel der Varianz; der typische Abstand eines Ergebnisses vom Erwartungswert.Ganz lesen → ist σ × Einsatz × √N. 100 Coups à $10: Die Standardabweichung beträgt etwa $584 bei vollen Zahlen und $100 bei Rot, bei etwa demselben erwarteten −$27. Der eine Spieler sieht Ergebnisse, die um Hunderte schwanken; der andere sieht eine sanfte Drift. Beide zahlen denselben Preis.
Varianz und Systeme
Eine ProgressionStrategieProgressionJede Regel, die den Einsatz anhand früherer Ergebnisse ändert. Negative Progressionen erhöhen ihn nach Verlusten, positive nach Gewinnen.Ganz lesen → ändert den EV pro gesetzter Einheit nicht, ändert aber sowohl den gesetzten Betrag als auch die Form der Verteilung. MartingaleStrategieMartingaleProgression, die die Wette nach jedem Verlust verdoppelt. Was sie leistet und was nicht, steht im Bereich Strategie.Ganz lesen → senkt die Varianz der meisten Sitzungen (viele kleine Gewinne) und fügt einen dicken Ausläufer hinzu (den seltenen großen Verlust); die Gesamtvarianz über alle Sitzungen ist wegen dieses Ausläufers höher als bei gleichbleibendem EinsatzStrategieGleichbleibender EinsatzBei jedem Coup denselben Betrag setzen (Masse égale). Der Maßstab, an dem jede Progression gemessen wird.Ganz lesen →. ParoliStrategieParoliPositive Progression: nach einem Gewinn verdoppeln, nach einem Verlust oder nach drei Gewinnen in Folge zurücksetzen. Auch: umgekehrte Martingale.Ganz lesen → macht das Gegenteil. Ein System zu wählen heißt, ein Varianzprofil zu wählen; der Mittelwert steht nicht auf der Karte.
- p10 −$500
- p25 −$500
- Median −$500
- p75 +$40
- p90 +$1.120
Warum sie für einen Spieler zählt
Die Varianz macht kurze Sitzungen unvorhersagbar und lange vorhersagbar. Mit σ = $100 und EV = −$27 über 100 Coups ist der Vorteil ein Viertel des Rauschens, und eine Gewinnsitzung ist gewöhnlich. Über 10.000 Coups beträgt der EV −$2.700 und σ $1.000; der Vorteil ist nun fast das Dreifache des Rauschens, und eine Gewinnserie ist ein Drei-Sigma-Ereignis. Die Varianz ist kurzfristig der Freund des Spielers und langfristig der der Bank.
Varianz einer Kombination
Bei mehreren Wetten auf denselben Coup sind die Ergebnisse korreliert (ein Treffer auf der 17 ist auch ein Treffer auf SchwarzWetteSchwarzEinfache Chance auf die 18 schwarzen Zahlen. Französisch: Noir.Ganz lesen → und auf das zweite DutzendWetteDutzend1–12, 13–24 oder 25–36, zahlt 2:1.Ganz lesen →), also addieren sich die Varianzen nicht einfach. Der Wett-Baukasten berechnet die exakte Verteilung für jede Menge von JetonsGeldJetonEine Spielmarke mit festem Wert, die auf das Tableau gelegt wird, um zu setzen. Auch: Chip, Cheque.Ganz lesen →, indem er alle 37 Ergebnisse durchzählt, und das ist die einzig richtige Methode.
Formel
Fragen
Nein. Jede Wette hat denselben Erwartungswert. Höhere Varianz bedeutet breitere Schwankungen um ihn herum.
Einfache ChancenWetteEinfache ChanceRot/Schwarz, Ungerade/Gerade, Hoch/Niedrig. 18 Zahlen, zahlt 1:1.Ganz lesen →, mit σ ≈ 1 pro Einheit. Noch niedriger mit La PartageRegelLa PartageFranzösische Regel: Fällt die Zero, wird die Hälfte eines Einsatzes auf einfache Chance zurückgegeben. Halbiert den Hausvorteil auf diesen Wetten auf 1,35%.Ganz lesen →, was auch den Mittelwert verbessert.
Der erwartete Gewinn ist pro Dollar derselbe; die Varianz beeinflusst nur, wie ungleichmäßig die Einnahmen des Casinos sind, und ein Casino hat Tausende von Spielern, die sie glätten.
Mathe zum Mitdenken
Versuchen Sie es zuerst selbst. Jede Lösung ist eingeklappt; öffnen Sie sie, wenn Sie so weit sind.
Zwei Spieler setzen 100 Coups lang je $1 pro Coup an einem europäischen Kessel, der eine immer auf RotWetteRotEinfache Chance auf die 18 roten Zahlen. Französisch: Rouge.Ganz lesen →, der andere immer auf die 17. Wer liegt am Ende mit größerer Wahrscheinlichkeit im Plus?
Lösung anzeigen
Antwort Der Spieler auf der 17: 50,9% gegen 35,5% für Rot. Beide verlieren im Durchschnitt $2,70.
Rot: Der Spieler liegt mit 51 oder mehr Gewinnen von 100 im Plus, jeder mit der WahrscheinlichkeitMathematikWahrscheinlichkeitMaß dafür, wie wahrscheinlich ein Ergebnis ist, von 0 bis 1 oder von 0% bis 100%. Eine Zahl: 1/37 = 2,70%.Ganz lesen → 18/37. Die Binomialverteilung ergibt 35,5%, und genau 50 Gewinne, also ein ausgeglichenes Ergebnis, weitere 7,7%.
Die 17: Jeder Treffer bringt $36 zurück, also reichen zwei Treffer (−$28) nicht, drei (+$8) aber schon. Die Wahrscheinlichkeit von drei oder mehr Treffern in 100 Coups bei 1/37 beträgt 50,9%.
Der Spieler auf der vollen Zahl liegt öfter im Plus, aber die Ergebnisse sind sprunghafter: Ein Treffer mehr oder weniger verschiebt das Ergebnis um $36, und wer im Minus liegt, liegt meist weiter im Minus. Bollman (2024) nennt die amerikanischen Zahlen, 26,5% und 49,2%.
Zum Schmunzeln
Derselbe erwartete Verlust. Einer von beiden meldet ihn laut.
Quellen
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.