Standardabweichung
Die Quadratwurzel der VarianzMathematikVarianzEin Maß dafür, wie weit die Ergebnisse um den Erwartungswert streuen. Hoch bei der vollen Zahl, niedrig bei einfachen Chancen.Ganz lesen →: der typische Abstand zwischen einem Ergebnis und seinem Erwartungswert.
Pro gesetztem $1 ist σ bei einer vollen Zahl 5,84 und bei Rot 1,00. Multiplizieren Sie mit dem Einsatz und mit der Quadratwurzel der Zahl der Coups, um die Streuung einer Sitzung zu erhalten.
Faustregel
Etwa zwei Drittel der Sitzungen landen innerhalb eines σ um den Erwartungswert und 95% innerhalb von zwei. Bei 100 Coups auf RotWetteRotEinfache Chance auf die 18 roten Zahlen. Französisch: Rouge.Ganz lesen → mit $10 (erwartet −$27, σ = $100) liegen die meisten Sitzungen zwischen −$127 und +$73 und fast alle zwischen −$227 und +$173. Ein Ergebnis außerhalb dieser Spanne beweist nichts, außer dass jede zwanzigste Sitzung es tut.
Warum √N
Der erwartete VerlustMathematikErwarteter VerlustErwartungswert mal insgesamt gesetzter Betrag; der Betrag, der über eine Sitzung oder einen Zeitraum im Durchschnitt verloren geht.Ganz lesen → wächst proportional zu N; die Streuung wächst proportional zu √N. Bei kleinem N dominiert die Streuung, und Sitzungen sind Münzwürfe mit leichter Schlagseite. Bei großem N überholt der Verlust die Streuung. Der Übergang, an dem der erwartete Verlust einer StandardabweichungMathematikStandardabweichungQuadratwurzel der Varianz; der typische Abstand eines Ergebnisses vom Erwartungswert.Ganz lesen → entspricht, liegt bei N = (σ/Vorteil)² = (1/0,027)² ≈ 1.370 Coups bei einer einfachen Chance und (5,84/0,027)² ≈ 46.800 bei vollen ZahlenWetteVolle ZahlEine einzelne Zahl, zahlt 35:1.Ganz lesen →. Darunter entscheidet das Glück; darüber der Vorteil.
Anwendung
Um zu beurteilen, ob eine Sitzung ungewöhnlich war, berechnen Sie (Ergebnis − EV)/σ. Wer $10 auf Rot setzt und 100 Coups mit +$150 beendet, liegt bei (150 + 27)/100 = 1,77σ, einem Ergebnis, das in 1 von 25 Fällen vorkommt: Glück, nichts Bemerkenswertes. Ein Spieler auf volle Zahlen liegt bei denselben +$150 bei 0,3σ: ein gewöhnlicher Abend. Dasselbe Dollar-Ergebnis bedeutet bei verschiedenen Wetten Verschiedenes.
Standardfehler eines Anteils
Dieselbe Rechnung sagt Ihnen, wie viele Coups es braucht, um den Vorteil in den Daten zu sehen. Der Standardfehler eines beobachteten Gewinnanteils ist √(p(1 − p)/N). Für Rot mit N = 1.000: √(0,4865 × 0,5135 / 1000) ≈ 1,6%. Der Abstand zwischen einer fairen Münze und Rot beträgt 1,35%, also können Sie die beiden nach 1.000 Coups noch nicht sicher unterscheiden. Nach 10.000 beträgt der Standardfehler 0,5%, und Sie können es. Deshalb braucht auch die Erkennung von Kesselfehlern so viele Coups.
Ein Hinweis zur Schiefe
Ergebnisse auf volle Zahlen sind in einer kurzen Sitzung weit von einer Normalverteilung entfernt: Die meisten Sitzungen sind ein stetiges −$10 pro Coup mit gelegentlichen Sprüngen um +$350. Die ±1σ-Regel beschreibt die Streuung richtig, aber die Form schlecht, bis N in den Hunderten liegt. Bei einfachen ChancenWetteEinfache ChanceRot/Schwarz, Ungerade/Gerade, Hoch/Niedrig. 18 Zahlen, zahlt 1:1.Ganz lesen → ist die Normalverteilung ab etwa 30 Coups eine gute Näherung.
Formel
Fragen
Sie ist ein Beweis dafür, dass Sie etwa 40 Sitzungen gespielt haben oder in der glücklichen von vierzig waren. Wiederholen Sie es.
Er schwankt immer weniger: Der Standardfehler des Durchschnitts ist σ/√N. Bei N = 10.000 beträgt er 1% des Einsatzes.
Mathe zum Mitdenken
Versuchen Sie es zuerst selbst. Jede Lösung ist eingeklappt; öffnen Sie sie, wenn Sie so weit sind.
Über 100 Coups an einem europäischen Kessel liegt eine EinheitGeldEinheitDer Grundeinsatz, in dem ein System oder ein Spieler rechnet. Progressionen werden in Einheiten beschrieben, damit sie an jedem Tisch gelten.Ganz lesen → auf RotWetteRotEinfache Chance auf die 18 roten Zahlen. Französisch: Rouge.Ganz lesen → im Plus, wenn sie mindestens 51-mal gewinnt, und eine Einheit auf eine volle ZahlWetteVolle ZahlEine einzelne Zahl, zahlt 35:1.Ganz lesen → liegt im Plus, wenn ihre Zahl mindestens 3-mal kommt. Schätzen Sie beide Wahrscheinlichkeiten mit der Glockenkurve und vergleichen Sie sie mit den exakten Antworten.
Lösung anzeigen
Antwort Rot: Die Glockenkurve ergibt 35,6%, die exakte Antwort ist 35,5%. Die volle Zahl: Die Glockenkurve ergibt 55,0%, die exakte Antwort ist 50,9%. Die Abkürzung funktioniert für Rot und versagt bei der einzelnen Zahl.
Rot: Die Gewinne liegen im Durchschnitt bei 100 × 18/37 = 48,6, mit einer Streuung von √(100 × 18/37 × 19/37) = 5,0. Im Plus heißt 51 oder mehr; die Grenze dazwischen, 50,5, liegt 0,37 Streuungen über dem Durchschnitt, und die Glockenkurve legt 35,6% darüber. Die exakten Wahrscheinlichkeiten für 51, 52 … 100 Gewinne ergeben zusammen 35,5%.
Volle Zahl: Die Treffer liegen im Durchschnitt bei 100/37 = 2,70, mit einer Streuung von √(100 × 1/37 × 36/37) = 1,62. Drei oder mehr Treffer heißt über 2,5, also 0,12 Streuungen unter dem Durchschnitt: 55,0% nach der Glockenkurve. Exakt ist es 1 minus die Wahrscheinlichkeiten für 0, 1 und 2 Treffer, 6,5% + 17,9% + 24,7%, was 50,9% übrig lässt.
Die Glockenkurve braucht reichlich Ergebnisse auf beiden Seiten des Durchschnitts. Rot hat sie nach 100 Coups; eine Zahl, die im Durchschnitt weniger als dreimal trifft, nicht. Die Kurve gibt „kein Treffer“ sogar 8,7%, wo die wahre Wahrscheinlichkeit 6,5% beträgt. Taylor (2021) stellt Binomialverteilung und Glockenkurve auf dieselbe Weise nebeneinander.
Zum Schmunzeln
Jede zwanzigste Sitzung liegt außerhalb von zwei Sigma. Jemand ist immer am Rand.
Quellen
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.