Konvergenz auf lange Sicht
Wie sich der Durchschnitt auf −2,70% einpendelt, und warum das länger dauert, als die Intuition vermuten lässt.
Der durchschnittliche Verlust pro Coup konvergiert mit wachsender Coup-Zahl gegen −1/37, mit einer Streuung, die wie 1/√N schrumpft. Nach 1.000 Coups auf Rot liegt der Durchschnitt typischerweise innerhalb von ±3% seines Erwartungswerts.
Gesetz der großen Zahlen
Der laufende Durchschnitt unabhängiger Wetten strebt gegen den ErwartungswertMathematikErwartungswertDas durchschnittliche Ergebnis pro Wette auf lange Sicht. −1/37 des Einsatzes für jede übliche Wette im europäischen Roulette.Ganz lesen →. Nach N Coups auf eine einfache Chance mit einer EinheitGeldEinheitDer Grundeinsatz, in dem ein System oder ein Spieler rechnet. Progressionen werden in Einheiten beschrieben, damit sie an jedem Tisch gelten.Ganz lesen → hat das durchschnittliche Ergebnis pro Coup den Erwartungswert −1/37 und die StandardabweichungMathematikStandardabweichungQuadratwurzel der Varianz; der typische Abstand eines Ergebnisses vom Erwartungswert.Ganz lesen → 1/√N. Bei N = 100 beträgt diese Streuung 10% des Einsatzes, fast das Vierfache des Signals von 2,7%. Bei N = 1.000 sind es 3,2%, etwa so viel wie das Signal. Bei N = 10.000 sind es 1%, und der Vorteil ist deutlich sichtbar. In einer Sitzung ist der Vorteil unsichtbar, in einem Jahr unübersehbar.
Was konvergiert und was nicht
Der Durchschnitt pro Coup konvergiert. Die Summe nicht: Sie entfernt sich mit wachsendem N weiter von null, im Erwartungswert um etwa 2,7% von N, mit einer Streuung von √N darum herum. Wer 10.000 Coups mit $10 gespielt hat, liegt erwartungsgemäß mit $2.700 im Minus, plus oder minus $1.000. Der laufende Anteil von RotWetteRotEinfache Chance auf die 18 roten Zahlen. Französisch: Rouge.Ganz lesen → hat sich längst bei etwa 48,65% eingependelt; der laufende Saldo hat sich nirgends eingependelt.
- p10 −$440
- p25 −$280
- Median −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Warum die Intuition versagt
Man erwartet, dass der Vorteil schnell sichtbar wird, weil 2,70% nach viel klingt, und dass lange Serien sich „ausgleichen“, weil das Gesetz der großen ZahlenMathematikGesetz der großen ZahlenDer Durchschnitt unabhängiger Ergebnisse nähert sich dem Erwartungswert, wenn die Zahl der Versuche wächst.Ganz lesen → sagt, dass Durchschnitte konvergieren. Beide Intuitionen verfehlen die Größenordnung: Der Vorteil ist klein gegenüber der VarianzMathematikVarianzEin Maß dafür, wie weit die Ergebnisse um den Erwartungswert streuen. Hoch bei der vollen Zahl, niedrig bei einfachen Chancen.Ganz lesen → eines einzelnen Coups (σ = 1 Einheit gegenüber EV = 0,027), also braucht es (1/0,027)² ≈ 1.400 Coups, bis er ein Sigma weit sichtbar wird. Und die Konvergenz des Durchschnitts zieht die Summe nicht zurück; sie verdünnt nur frühere Schwankungen.
Konvergenz bei anderen Wetten
Für volle ZahlenWetteVolle ZahlEine einzelne Zahl, zahlt 35:1.Ganz lesen → ist σ = 5,84, also ergibt dieselbe Rechnung (5,84/0,027)² ≈ 47.000 Coups, bis der Vorteil ein Sigma erreicht. Wer auf volle Zahlen setzt, kann jahrelang spielen, ohne dass sich der Vorteil in den eigenen Aufzeichnungen vom Zufall unterscheiden lässt, und zahlt dabei genau dieselben 2,70% wie der Spieler auf Rot, der ihn binnen Wochen sieht.
Folgerung für das Testen von Systemen
Wer behauptet, ein System funktioniere, sollte es über 10.000 oder mehr Coups mit einem dokumentierten positiven Durchschnitt belegen können. Bei 1.000 Coups ist ein positiver Durchschnitt bei einer einfachen Chance unter der Nullhypothese ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 1 von 5; bei 100 Coups ist es fast ein Münzwurf. Die Simulatoren auf dieser Seite lassen 2.000 Sitzungen in der von Ihnen gewählten Länge in einer Sekunde laufen, und das ist mehr Beweis als jeder Erfahrungsbericht.
Formel
Fragen
Die WahrscheinlichkeitMathematikWahrscheinlichkeitMaß dafür, wie wahrscheinlich ein Ergebnis ist, von 0 bis 1 oder von 0% bis 100%. Eine Zahl: 1/37 = 2,70%.Ganz lesen →, je wieder vorn zu liegen, fällt gegen null, je länger Sie spielen. Die Summe driftet ohne Grenze nach unten.
Nein. Es heißt, dass frühere Schwankungen ein kleinerer Bruchteil einer größeren Stichprobe werden.
Bei einer einfachen Chance etwa 10.000, bevor der Vorteil deutlich sichtbar ist. Bei vollen Zahlen etwa 50.000.
Mathe zum Mitdenken
Versuchen Sie es zuerst selbst. Jede Lösung ist eingeklappt; öffnen Sie sie, wenn Sie so weit sind.
Zwei Freunde spielen 20 Runden eines fairen SpielsMathematikFaires SpielEin Spiel, in dem keine Seite einen Vorteil hat: Jede Wette hat den Erwartungswert null.Ganz lesen →, Münzwurf oder RotWetteRotEinfache Chance auf die 18 roten Zahlen. Französisch: Rouge.Ganz lesen → gegen SchwarzWetteSchwarzEinfache Chance auf die 18 schwarzen Zahlen. Französisch: Noir.Ganz lesen → mit zurückgegebenen Einsätzen bei ZeroKesselZeroDas einzelne grüne Fach, das keine einfache Chance, kein Dutzend und keine Kolonne abdeckt; die Quelle des Hausvorteils. Auch: einfache Zero, 0.Ganz lesen →, und führen einen laufenden Spielstand. Zählen Sie die Runden, in denen jeder vorn liegt (ein Gleichstand zählt für den, der unmittelbar davor führte). Was ist wahrscheinlicher: dass die Führung 10 zu 10 Runden geteilt wird oder dass ein Freund alle 20 führt?
Lösung anzeigen
Antwort Dass ein Freund alle 20 Runden führt, ist weit wahrscheinlicher: 35,2%, für beide Freunde zusammen, gegenüber 6,1% für ein ausgeglichenes 10 zu 10.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein fairer laufender Spielstand nach 2k Runden ausgeglichen ist, beträgt u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 nach 10 Runden und 0,176 nach 20. Ein klassisches Ergebnis, das Arkussinus-Gesetz, besagt, dass ein bestimmter Freund mit der Wahrscheinlichkeit u(2k) × u(2n − 2k) genau 2k von 2n Runden führt.
Alle 20 führen: u(20) × u(0) = 0,176 für jeden Freund, 35,2% für einen von beiden. Eine gleichmäßige Aufteilung: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, die unwahrscheinlichste Aufteilung von allen.
In einem fairen Spiel wechselt die Führung also selten. Ein Spieler, der den ganzen Abend vorn oder den ganzen Abend hinten lag, hat nichts Ungewöhnliches erlebt, und es sagt nichts über den Kessel oder über Können aus. Epstein (2013) nennt dasselbe Gesetz für längere Spiele: In der Hälfte der Fälle führt die glücklichere Seite über mehr als 85% des Spiels.
Zum Schmunzeln
Der Durchschnitt konvergiert. Die Summe geht einfach.
Quellen
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.