Casino-Aktionen und Rückerstattungen
Matchplay-Gutscheine, Jetons, die sich nicht einlösen lassen, und Rückerstattungen auf Verluste verschieben ein wenig Geld vom Casino zum Spieler. Richtig bewertet sind manche davon mehr wert, als der Kessel nimmt.
Ein Gutschein, der die Auszahlung einer einfachen Chance verdoppelt, ist an einem europäischen Kessel etwa 46% der Wette wert. Ein Aktionsjeton für einen einzigen Einsatz ist bei einer Wette auf n Zahlen (36 − n)/37 seines Nennwerts wert: 95% auf einer vollen Zahl, 49% auf Rot. Eine Rückerstattung der Hälfte des Nettoverlusts macht eine kurze Sitzung auf Rot lohnend. Nichts davon ändert den Kessel; es ändert, wer bezahlt.
Warum eine Aktion den Hausvorteil schlagen kann
Der HausvorteilMathematikHausvorteilDer Anteil jedes Einsatzes, den das Casino im Durchschnitt behält: 2,70% im europäischen Roulette.Ganz lesen → ist ein Preis pro gesetzter EinheitGeldEinheitDer Grundeinsatz, in dem ein System oder ein Spieler rechnet. Progressionen werden in Einheiten beschrieben, damit sie an jedem Tisch gelten.Ganz lesen →: 2,70% an einem europäischen Kessel. Eine Aktion legt Geld auf eine Seite einer Wette, und legt sie mehr als 2,70% des Einsatzes darauf, ist diese Wette positiv, solange die Aktion läuft. Die Casinos bieten sie trotzdem an, weil sie begrenzt sind: ein Gutschein pro Besuch, JetonsGeldJetonEine Spielmarke mit festem Wert, die auf das Tableau gelegt wird, um zu setzen. Auch: Chip, Cheque.Ganz lesen →, die gesetzt, aber nicht eingelöst werden können, Rückerstattungen nur für Spieler, die große Summen verlieren. Die Rechnung ist dieselbe wie überall auf dieser Website: Wahrscheinlichkeit mal AuszahlungGeldAuszahlungWas eine gewinnende Wette einbringt, angegeben als „X zu 1“ zusätzlich zum zurückgegebenen Einsatz.Ganz lesen →, addiert über alle Ausgänge.
Matchplay-Gutscheine
Ein Matchplay-Gutschein liegt neben einer Bargeldwette und verdoppelt, was die Wette bei einem Gewinn auszahlt; ob Gewinn oder Verlust, das Casino behält den Gutschein. Bollman (2024) bewertet einen Gutschein aus Las Vegas von 2022, der bis zu $50 auf eine einfache ChanceWetteEinfache ChanceRot/Schwarz, Ungerade/Gerade, Hoch/Niedrig. 18 Zahlen, zahlt 1:1.Ganz lesen → verdoppelte. An einem europäischen Kessel gewinnen $50 auf RotWetteRotEinfache Chance auf die 18 roten Zahlen. Französisch: Rouge.Ganz lesen → mit dem Gutschein mit der Wahrscheinlichkeit 18/37 $100 und verlieren mit der Wahrscheinlichkeit 19/37 $50: erwartet +$22,97 oder 45,9% der Wette. An einem amerikanischen Kessel sind es +$21,05, 42,1%. Auf einer vollen ZahlWetteVolle ZahlEine einzelne Zahl, zahlt 35:1.Ganz lesen → wäre derselbe Gutschein doppelt so viel wert, weshalb Gutscheine auf einfache Chancen beschränkt sind.
Jetons, die sich nicht einlösen lassen
Aktionsjetons, auch nicht einlösbare Jetons genannt, können gesetzt, aber nicht in Geld umgetauscht werden. Die übliche Regel ist ein einziger Einsatz: Eine gewinnende Wette wird in gewöhnlichen Jetons ausgezahlt und der Aktionsjeton eingezogen; bei einer verlorenen wird er ebenfalls eingezogen. Ein Jeton zu $100 auf einer Wette auf n Zahlen gewinnt mit der Wahrscheinlichkeit n/37 (36 − n)/n × $100, ist also (36 − n)/37 seines Nennwerts wert. Der Wert des Jetons selbst kommt nie zurück, nur der Gewinn, und eine Wette, die selten gewinnt, aber viel auszahlt, verliert auf diese Weise am wenigsten: $94,59 auf einer vollen Zahl, $48,65 auf Rot. Wo der Jeton auf dem TableauAusstattungTableauDas aufgedruckte Setzfeld auf dem Tisch. Auch: Tisch, Filz, Tuch.Ganz lesen → liegen bleiben darf, bis er verliert, ist eine einfache Chance an einem europäischen Kessel 18/19 seines Nennwerts wert und an einem amerikanischen 9/10 (Bollman, 2024).
Die Jetons in Bargeld verwandeln
Ein Wert ist ein Durchschnitt; wer das Geld sicher haben will, kann es sich mit einer Absicherung kaufen. Bollmans Beispiel stammt aus dem alten Casino Vegas World: Aktionsjetons über $1.000 an einem amerikanischen Kessel, $500 auf Rot und $500 auf SchwarzWetteSchwarzEinfache Chance auf die 18 schwarzen Zahlen. Französisch: Noir.Ganz lesen →, dazu je $20 in bar auf 0 und 00. Gewinnt Rot oder Schwarz, bringt das $500, und die $40 in bar sind verloren: +$460. Eine ZeroKesselZeroDas einzelne grüne Fach, das keine einfache Chance, kein Dutzend und keine Kolonne abdeckt; die Quelle des Hausvorteils. Auch: einfache Zero, 0.Ganz lesen → kostet beide Jetons und zahlt $700 auf das Bargeld: +$680. Der Spieler sichert sich mindestens $460, und der Durchschnitt, $471,58, beträgt 99,6% dessen, was die Jetons allein auf Rot wert sind. Wo die Regeln Jetons auf einzelnen Zahlen erlauben, bietet ein europäischer Kessel eine bessere Absicherung: Jetons zu $25 auf allen 36 Zahlen ($900) und $25 in bar auf die Zero. Jede Zahl, die fällt, zahlt $875, und das Bargeld auf der Zero ist verloren, außer die Zero selbst fällt; der Spieler behält also mindestens $850, 94% des Nennwerts der Jetons, ganz ohne Risiko.
Rückerstattungen auf Verluste
Spielern mit hohen Einsätzen wird oft eine Verlustrückerstattung angeboten: ein Anteil ihres Nettoverlusts zurück am Ende einer vereinbarten Sitzung. Eine Rückerstattung zahlt nur, wenn Sie verlieren, und ist daher am meisten wert, wenn die Ergebnisse stark schwanken und die Sitzung so kurz ist, dass der Hausvorteil noch nicht die Oberhand gewonnen hat. Epstein (2013) rechnet den Fall für einen amerikanischen Kessel durch; unsere Zahlen für einen europäischen folgen. Wird die Hälfte des Nettoverlusts erstattet, lohnt sich ein gleichbleibender Einsatz auf eine einfache Chance bis zu 103 Coups lang und ist bei 25 am besten, im Durchschnitt +0,51 Einsätze wert. Auf einer vollen Zahl sind die Schwankungen so groß, dass die Sitzung etwa 3.600 Coups lang positiv bleibt und bei 882 am besten ist, +17,25 Einsätze wert. Bei einer üblicheren Rückerstattung von 10% ist die einfache Chance nur für einen einzigen Coup positiv, während eine volle Zahl bei 20 Coups am besten ist, +0,62 Einsätze wert.
Worauf das Casino setzt
Jede Aktion hat eine Obergrenze, und die Obergrenze schützt das Casino: ein Gutschein pro Besuch, Jetons in festem Betrag, Rückerstattungen nur mit Spielern vereinbart, deren erwartete Verluste über eine Reise die Erstattung weit übersteigen. Wer den Gutschein nutzt und dann für einen Abend mit Wetten zu $50 auf Rot bleibt, gibt die $22,97 binnen 17 Coups zurück, mit $1,35 pro Coup. Der Wert ist echt für den Spieler, der ihn mitnimmt und geht, oder der ohnehin so viel spielen wollte.
Formel
Fragen
Für die eine Wette, zu der er gehört, ja. Jede andere Wette kostet weiterhin 2,70% des Einsatzes.
Wenige Spieler kommen darauf, die Jetons sind begrenzt, und das Casino hat die Aktion bereits als Werbung eingepreist.
Selten. Sie sind eine Bedingung für High Roller, meist mit einem Casino-Host vereinbart und auf den Nettoverlust einer Reise gezahlt.
Mathe zum Mitdenken
Versuchen Sie es zuerst selbst. Jede Lösung ist eingeklappt; öffnen Sie sie, wenn Sie so weit sind.
Sie bekommen einen AktionsjetonGeldJetonEine Spielmarke mit festem Wert, die auf das Tableau gelegt wird, um zu setzen. Auch: Chip, Cheque.Ganz lesen → zu $25, der nach einer Wette eingezogen wird, ob sie gewinnt oder verliert. Wohin damit: auf RotWetteRotEinfache Chance auf die 18 roten Zahlen. Französisch: Rouge.Ganz lesen →, auf ein DutzendWetteDutzend1–12, 13–24 oder 25–36, zahlt 2:1.Ganz lesen → oder auf eine einzelne Zahl?
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Antwort Auf eine einzelne Zahl. Dort ist er im Durchschnitt $23,65 wert; auf einem Dutzend $16,22 und auf Rot $12,16.
Der Jeton selbst kommt nie zurück, nur was er gewinnt. Auf Rot gewinnt er mit der Wahrscheinlichkeit 18/37 $25: $12,16. Auf einem Dutzend gewinnt er mit der Wahrscheinlichkeit 12/37 $50: $16,22. Auf einer einzelnen Zahl gewinnt er mit der Wahrscheinlichkeit 1/37 $875: $23,65.
Allgemein ist eine Wette auf n Zahlen (36 − n)/37 des Jetons wert, je weniger Zahlen, desto besser also. Bei einem gewöhnlichen Jeton macht das keinen Unterschied, weil der Einsatz bei jedem Gewinn zurückkommt und jede Wette 36/37 von ihm wert ist. Den Einsatz wegzunehmen schadet den Wetten, die oft gewinnen, und berührt die Wette kaum, die einmal in 37 gewinnt.
Ein Casino erstattet Ihnen nach genau einem Coup die Hälfte Ihres Nettoverlusts. Lohnen sich $100 auf Rot? Und $100 auf eine einzelne Zahl?
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Antwort Beides: etwa +$22,97 auf Rot und +$45,95 auf die Zahl.
Auf Rot gewinnen Sie mit der Wahrscheinlichkeit 18/37 $100 und verlieren nach der Erstattung mit der Wahrscheinlichkeit 19/37 $50: (1.800 − 950)/37 = +$22,97.
Auf einer einzelnen Zahl gewinnen Sie mit der Wahrscheinlichkeit 1/37 $3.500 und verlieren mit der Wahrscheinlichkeit 36/37 $50: (3.500 − 1.800)/37 = +$45,95.
Das sind wieder die Zahlen des Matchplay-Gutscheins. Eine Wette von $100, die nur $50 verliert, gewinnt $100 oder verliert $50, genau wie eine Wette von $50 mit einem Gutschein, der ihren Gewinn verdoppelt. Über eine längere Sitzung wird die Erstattung nur auf das Nettoergebnis gezahlt, Gewinne und Verluste heben sich vorher auf, und der Wert schrumpft; für Rot mit der Hälfte zurück sind 25 Coups die beste Länge.
Das Casino erstattet die Hälfte Ihres Nettoverlusts nach einer festen, vorab gewählten Zahl von Wetten zu $100 auf Rot: 1, 2 oder 3 Coups. Was ist am meisten wert?
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Antwort Drei Coups: etwa +$31,45. Ein Coup ist +$22,97 wert, zwei nur +$20,96.
Ein Coup: $100 gewinnen mit Wahrscheinlichkeit 18/37, oder $100 verlieren und $50 zurückbekommen mit Wahrscheinlichkeit 19/37: +$22,97, wie in der Aufgabe oben.
Zwei Coups: Beide gewinnen (324 von 1.369 Mal), +$200. Je einer (684 Mal), $0, nichts zu erstatten. Beide verlieren (361 Mal), −$200, nach der Erstattung −$100. Durchschnitt: (200 × 324 − 100 × 361)/1.369 = +$20,96. Die Erstattung zahlt nur bei einem Verlust, und zwei Coups machen aus vielen Verlusten eines einzelnen Coups ein Unentschieden.
Drei Coups können nie unentschieden enden. Drei Gewinne (5.832 von 50.653 Mal): +$300. Zwei Gewinne (18.468): +$100. Ein Gewinn (19.494): −$100, nach Erstattung −$50. Keiner (6.859): −$300, nach Erstattung −$150. Durchschnitt: +$31,45.
Die Erstattung ist umso mehr wert, je länger Sie sich festlegen, während der Hausvorteil nur $2,70 pro Coup kostet; deshalb steigt der Wert bis auf etwa +$51 bei 25 Coups (siehe die Tabelle oben), und eine ungerade Zahl von Coups schlägt immer die gerade Zahl danach.
Ein Casino in Las Vegas gab einmal einen Gutschein aus: Setzen Sie $5 auf die 00, und wenn sie gewinnt, bekommen Sie $250 statt der üblichen $175. Was ist die Wette von $5 mit dem Gutschein wert, als Anteil des Einsatzes, an seinem Kessel mit DoppelzeroKesselZeroDas einzelne grüne Fach, das keine einfache Chance, kein Dutzend und keine Kolonne abdeckt; die Quelle des Hausvorteils. Auch: einfache Zero, 0.Ganz lesen →?
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Antwort Etwa +34%: Die Wette ist im Durchschnitt +$1,71 wert. Wenn die $250 die zurückgegebenen $5 einschließen, sind es +31,6%.
Die 00 gewinnt einmal in 38 Coups. Mit dem Gutschein: einmal +$250, die anderen 37 Male −$5. Durchschnitt: (250 − 37 × 5)/38 = 65/38 = +$1,71, das sind 34,2% von $5. Ohne den Gutschein: (175 − 185)/38 = −$0,26, die üblichen −5,26%.
Wenn $250 der insgesamt ausgezahlte Betrag ist, beträgt der Gewinn $245 und der Durchschnitt (245 − 185)/38 = +$1,58, also 31,6%.
Bollman (2024) stellt diesen Gutschein aus dem Casino Lady Luck (heute das Downtown Grand) als Übungsaufgabe; die dort abgedruckte Antwort, 7,89%, passt zu keiner der beiden Lesarten. Wie ein Matchplay-Gutschein ist er einmal etwas wert: Spielen Sie ihn und hören Sie auf.
Zum Schmunzeln
Eine Aktion ist für den Spieler am meisten wert, der sie mitnimmt und nach Hause geht.
Quellen
- Bollman, M. Basic Gambling Mathematics: The Numbers Behind the Neon, 2nd ed.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.