Abbremsung
Der einzige Teil des Coups, der wirklich vorhersagbar ist.
Die Abbremsung der Kugel auf der Bahn folgt einer glatten Kurve, die von Reibung und Widerstand bestimmt wird. Aus wenigen Umlaufzeiten lässt sich die Fallzeit auf den Bruchteil einer Sekunde schätzen. Die Streuung danach macht den größten Teil dieser Genauigkeit zunichte.
Das Modell
Betrachten Sie die KugelAusstattungKugelDie kleine Kugel, die gegen die Drehrichtung der Drehscheibe in den Kugellauf eingeworfen wird. Moderne Kugeln bestehen aus Ivorine oder Teflon, 18–21 mm.Ganz lesen → als abgebremst durch einen konstanten Term a (Rollreibung) und einen zur Geschwindigkeit proportionalen Term b·v (Luftwiderstand und geschwindigkeitsabhängige Verluste): dv/dt = −(a + bv). Die Lösung ist eine exponentielle Annäherung an die kritische Fallgeschwindigkeit. Die Rundenzeit T = 2πr/v wächst deshalb von Runde zu Runde um einen zunehmenden Betrag. Passt man a und b an die ersten Runden an, folgen die übrigen Runden und die Fallzeit. Nichts daran ist exotisch; es ist Mechanik des ersten Semesters, angewandt auf eine Kugel auf einer Bahn.
Was die Schätzung bringt
Eine Fallzeit auf 0,2 Sekunden genau legt, zusammen mit einer DrehscheibeAusstattungDrehscheibeDer drehende Teil des Kessels, der die Fächer trägt.Ganz lesen →, die 15 FächerAusstattungFachEines der 37 nummerierten Fächer der Drehscheibe (Nummernfach). Auch: Slot, Cup.Ganz lesen → pro Sekunde weiterläuft, das Fach unter dem Fallpunkt auf etwa drei Fächer genau fest. Das ist die gute Nachricht für einen Vorhersager. Die schlechte ist, dass die Kugel dann die SchrägeAusstattungSchrägeDie geneigte Fläche zwischen Kugellauf und Fächern (Kesselschräge), auf der die Rauten sitzen.Ganz lesen → quert, eine RauteAusstattungRauteEines der Metallhindernisse auf der Schräge, die die fallende Kugel ablenken. Auch: Kanu, Diamant, Pin.Ganz lesen → trifft und über die StegeAusstattungStegDie Trennwand aus Metall zwischen zwei Fächern im Kessel.Ganz lesen → springt, und das Endfach sich über eine Verteilung von 20 bis 30 Fächern Breite verteilt. Die Genauigkeit der Laufphase wird größtenteils von der Streuung der Fallphase aufgezehrt.
Was übrig bleibt
Hat die Streuungsverteilung einen Gipfel, sodass die Kugel häufiger als zufällig nahe dem Fall-Fach landet, dann bringt eine Wette auf einen SektorKesselSektorEin zusammenhängender Bogen von Fächern im Kessel (Kesselsektor), im Unterschied zu einer Gruppe auf dem Tableau.Ganz lesen → um das vorhergesagte Fach einen kleinen Vorteil. Small und Tse (2012) haben das im Labor mit einer Kamera gemessen und Trefferraten für den vorhergesagten Sektor gefunden, die hoch genug waren, um den HausvorteilMathematikHausvorteilDer Anteil jedes Einsatzes, den das Casino im Durchschnitt behält: 2,70% im europäischen Roulette.Ganz lesen → um einige Prozent ins Positive zu drehen. Ihre Bedingungen, eine volle Sicht von oben, ein bekannter Kessel, Wetten nach dem Abwurf der Kugel, gibt es an einem Live-Tisch nicht.
Was sich von Stunde zu Stunde ändert
Die beiden Konstanten stehen für einen Kessel nicht fest. Die Eudaemons, die in den 1970er-Jahren jahrelang die Zeiten an einem Casinokessel maßen, stellten fest, dass die Luft am stärksten bremst, stärker als der Kugellauf, und dass es auf die Kugel ankommt: Eine Teflonkugel verlor doppelt so schnell an Tempo wie eine aus dem Kunststoff von Billardkugeln. Sie sahen auch, wie ihre Vorhersagen um 5 bis 10% pro Stunde wegrutschten, wenn eine Tür geöffnet wurde oder das Wetter umschlug, weil feuchte oder schwere Luft die Kugel früher bremst. Ihr Programm führte deshalb getrennte Einstellungen für die Abbremsrate der Kugel und für die Geschwindigkeit, bei der sie den Kugellauf verlässt, und der Spieler stellte beide an jedem Tisch neu ein und noch einmal, sobald die Vorhersagen zu driften begannen.
Warum das Labor das erklärt
Nicht, damit jemand es nachmachen kann. Sondern um zu zeigen, woraus der Zufall des Spiels tatsächlich besteht: aus einer deterministischen Phase, die Casinos durch frühes Schließen der Wetten und Mindestumläufe verteidigen, und einer chaotischen Phase, die sie durch Rauten und niedrige Stege verteidigen. Wer das versteht, versteht, warum die 2,70% sicher sind.
Selbst nachrechnen
Messen Sie in einem beliebigen Stream drei Runden lang, wann die Kugel an einer Raute vorbeiläuft, und extrapolieren Sie; meistens liegen Sie bis auf eine Runde beim Fall, und das ist die deterministische Phase, die wie beschrieben funktioniert. Beobachten Sie dann, wo die Kugel tatsächlich relativ zum Fach unter dem Fallpunkt landet, und führen Sie fünfzig Coups lang eine Strichliste. Die Liste ist eine Streuungsverteilung, und ihre Breite ist die Antwort auf die Frage „Warum ist das nicht zu schlagen?“.
Formel
Fragen
Nein. Die Reibung schwankt mit Staub, Luftfeuchtigkeit und Verschleiß. Vorhersager passen bei jedem Coup neu an.
Drei geben eine grobe Schätzung, fünf oder sechs eine gute. Das Mindestmaß von vier in Studios lässt wenig Zeit zum Setzen, und die Wetten sind ohnehin geschlossen.
Einige, kurz, mit Geräten, bevor sich die Casinos anpassten und Gesetze folgten. Siehe Advantage Play.
Mathe zum Mitdenken
Versuchen Sie es zuerst selbst. Jede Lösung ist eingeklappt; öffnen Sie sie, wenn Sie so weit sind.
In Thorps anschaulichem Modell einer langsamer werdenden KugelAusstattungKugelDie kleine Kugel, die gegen die Drehrichtung der Drehscheibe in den Kugellauf eingeworfen wird. Moderne Kugeln bestehen aus Ivorine oder Teflon, 18–21 mm.Ganz lesen → gilt: Dauert eine Umdrehung im Kugellauf T Sekunden, hat die Kugel noch 1/(e^(3T/20) − 1) − 10/3 Umdrehungen vor sich, bevor sie den Kugellauf verlässt. Wie viele bleiben nach einer Umdrehung von einer halben Sekunde und nach einer von einer vollen Sekunde? Um wie viel verschiebt ein Zeitfehler von 0,012 Sekunden bei T = 0,8 die Vorhersage?
Lösung anzeigen
Antwort Etwa 9,5 Umdrehungen nach einer Runde von einer halben Sekunde und 2,85 nach einer Runde von einer Sekunde. Der Fehler verschiebt die Vorhersage um etwa 0,12 Umdrehungen, rund 4½ FächerAusstattungFachEines der 37 nummerierten Fächer der Drehscheibe (Nummernfach). Auch: Slot, Cup.Ganz lesen →.
T = 0,5: 3T/20 = 0,075 und e^0,075 ≈ 1,0779, also 1/0,0779 ≈ 12,84 und 12,84 − 3,33 ≈ 9,51 Umdrehungen. T = 1: e^0,15 ≈ 1,1618, 1/0,1618 ≈ 6,18 und 6,18 − 3,33 ≈ 2,85. Eine schnelle Runde bedeutet viele verbleibende Umdrehungen, und eine doppelt so langsame Runde lässt weniger als ein Drittel davon übrig.
Bei T = 0,8 ergibt die Formel 4,51 Umdrehungen, bei T = 0,812 sind es 4,39. Ein Fehler von 12 Tausendstelsekunden, etwa die Zeit, die die Kugel braucht, um ihre eigene Breite weiterzurollen, verschiebt die Vorhersage um 0,12 Umdrehungen: etwa 4½ Fächer eines Kessels mit 37 Fächern. Dieser eine Fehler macht den größten Teil der 5,5 Fächer aus, die Thorps Fehleraufstellung für das Timing der Kugel zulässt (siehe Advantage Play), und deshalb begrenzt die Uhr einen Vorhersager, nicht die Arithmetik.
Zum Schmunzeln
Vorhersagbar bis zum Fall. Dann die Rauten.
Quellen
- Small, M. & Tse, C. K. “Predicting the outcome of roulette.”
- Bass, T. A. The Eudaemonic Pie.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”