Spielerfehlschluss
Der Glaube, ein Ergebnis sei „fällig“, weil es eine Weile nicht erschienen ist.
Nach zehnmal Rot ist die Wahrscheinlichkeit für Schwarz immer noch 18/37. Der Kessel führt keine Aufzeichnung und schuldet nichts.
Der Fehlschluss
Wenn RotWetteRotEinfache Chance auf die 18 roten Zahlen. Französisch: Rouge.Ganz lesen → zehnmal gekommen ist, haben viele Spieler das Gefühl, SchwarzWetteSchwarzEinfache Chance auf die 18 schwarzen Zahlen. Französisch: Noir.Ganz lesen → sei „fällig“, und setzen entsprechend. Andere meinen, Rot sei „heiß“, und setzen darauf. Beide schließen von einer Folge, die schon vorbei ist, auf einen Coup, der noch nicht stattgefunden hat. Die KugelAusstattungKugelDie kleine Kugel, die gegen die Drehrichtung der Drehscheibe in den Kugellauf eingeworfen wird. Moderne Kugeln bestehen aus Ivorine oder Teflon, 18–21 mm.Ganz lesen → weiß nicht, wie die letzten zehn Coups ausgingen; die FächerAusstattungFachEines der 37 nummerierten Fächer der Drehscheibe (Nummernfach). Auch: Slot, Cup.Ganz lesen → sind so groß wie vor einer Stunde; die WahrscheinlichkeitMathematikWahrscheinlichkeitMaß dafür, wie wahrscheinlich ein Ergebnis ist, von 0 bis 1 oder von 0% bis 100%. Eine Zahl: 1/37 = 2,70%.Ganz lesen → für Schwarz ist 18/37, wie sie es immer war.
Warum es sich richtig anfühlt
Auf lange Sicht nähern sich die Anteile von Rot und Schwarz tatsächlich je 18/37. Das Gesetz der großen ZahlenMathematikGesetz der großen ZahlenDer Durchschnitt unabhängiger Ergebnisse nähert sich dem Erwartungswert, wenn die Zahl der Versuche wächst.Ganz lesen → garantiert es. Aber die Annäherung geschieht durch Verdünnung, nicht durch Ausgleich: Nach 1.000 weiteren Coups sind die zehn zusätzlichen Rot ein Rundungsfehler im Anteil, nicht weil Schwarz aufgeholt hätte, sondern weil die Stichprobe gewachsen ist. Es gibt keinen Mechanismus, der Schwarz wahrscheinlicher macht, und das Gesetz der großen Zahlen verlangt keinen.
Monte Carlo, 18. August 1913
An einem Tisch im Casino de Monte-Carlo kam 26 Mal hintereinander Schwarz. Ab etwa dem fünfzehnten Schwarz stürzten sich die Spieler auf Rot, verdoppelten und verdoppelten erneut, jeder Coup „sicherer“ als der vorige. Das Casino gewann Millionen von Franc. Die Serie hatte ab dem ersten Schwarz eine Wahrscheinlichkeit von 1 von 137 Millionen, und die Wahrscheinlichkeit, dass sie irgendwann irgendwo in den Casinos der Welt auftreten würde, war praktisch eins. Deshalb heißt der Spielerfehlschluss auch Monte-Carlo-Fehlschluss.
Unauffällig. Kommt in einem von 44 Fällen vor.
Die Spieler werden aufmerksam. Rot sei „fällig“.
Der Tisch ist überfüllt. Die Einsätze auf Rot werden nach jedem Verlust verdoppelt.
Vermögen gehen verloren. Jedes neue Schwarz lässt Rot sicherer erscheinen.
Die Serie endet. Das Casino hat Millionen von Franc von Leuten gewonnen, die gegen eine Serie setzten, die nicht „wissen“ konnte, dass sie eine Serie war.
Die heiße Hand
Auf eine Farbe zu setzen, weil sie gerade eine Serie hat, ist derselbe Fehler andersherum: Hier wird erwartet, dass die Serie weitergeht, statt zu enden. Psychologen nennen das die heiße HandMythosHeiße HandDer Glaube, eine Serie von Gewinnen oder eines Ergebnisses mache ein weiteres wahrscheinlicher. Am Kessel ist sie der Spielerfehlschluss mit umgekehrtem Vorzeichen.Ganz lesen →, nach einer Studie von Gilovich, Vallone und Tversky aus dem Jahr 1985, die im Basketball nach Trefferserien suchte und keine fand, die über den Zufall hinausgingen. 2018 zeigten Miller und Sanjurjo, dass schon der Test verzerrt war: In einer kurzen Wurfreihe liegt der Anteil der Treffer direkt nach einem Treffer im Durchschnitt unter der Gesamtquote des Werfers, sodass ein Spieler ganz ohne heiße Hand leicht kalt wirkt. Korrigiert zeigen dieselben Daten eine bescheidene heiße Hand. Ein Mensch kann sich warmspielen; ein Kessel kommt nie in Form. Manche Spieler glauben beides zugleich: dass eine Serie weitergeht, bis sie „zu lang“ ist, und dann endet. An einem fairen Kessel hat jede Variante denselben ErwartungswertMathematikErwartungswertDas durchschnittliche Ergebnis pro Wette auf lange Sicht. −1/37 des Einsatzes für jede übliche Wette im europäischen Roulette.Ganz lesen → wie die Wahl der Farbe per Münzwurf: −2,70% des Einsatzes.
An einem echten Tisch
Croson und Sundali (2005) sahen sich 18 Stunden Überwachungsvideo von einem Tisch mit DoppelzeroKesselZeroDas einzelne grüne Fach, das keine einfache Chance, kein Dutzend und keine Kolonne abdeckt; die Quelle des Hausvorteils. Auch: einfache Zero, 0.Ganz lesen → in einem großen Casino in Reno an: 139 Spieler mit 24.131 Wetten. Bei den einfachen ChancenWetteEinfache ChanceRot/Schwarz, Ungerade/Gerade, Hoch/Niedrig. 18 Zahlen, zahlt 1:1.Ganz lesen → waren die Spieler etwa gleichmäßig geteilt: Die einen folgten kurzen Serien, die anderen setzten gegen sie. Nach fünf gleichen Ergebnissen in Folge neigten sie dazu, gegen die Serie zu setzen, und nach sechs oder mehr lagen 85% ihrer Wetten auf der anderen Seite. Bei sich selbst glaubten dieselben Spieler an die heiße Hand: Nach einem Gewinn auf Zahlen deckten sie im nächsten Coup im Durchschnitt 13,6 Zahlen ab, nach einem Verlust 9,2. Ihr Kessel zeigte keine Anzeichen eines Kesselfehlers, nichts davon änderte also etwas an dem, was jeder von ihnen erwarten konnte.
Außerhalb des Casinos
Derselbe Sog zeigt sich dort, wo echte Entscheidungen fallen. Clotfelter und Cook (1993) verfolgten das tägliche Zahlenlotto von Maryland: Das auf eine Zahl gesetzte Geld fiel stark, sobald sie gezogen worden war, und erholte sich erst nach Monaten, obwohl die Ziehung kein Gedächtnis hat. Chen, Moskowitz und Shue (2016) fanden den Effekt bei Fachleuten. Asylrichter in den USA lehnten einen Fall mit einer um bis zu 3,3 Prozentpunkte höheren Wahrscheinlichkeit ab, wenn sie dem vorherigen stattgegeben hatten. Baseball-Schiedsrichter gaben einen Strike mit einer um 1,5 Punkte geringeren Wahrscheinlichkeit, wenn sie gerade einen gegeben hatten, bei knappen Würfen mit mehr als dem Doppelten. In einem Feldexperiment mit Kreditsachbearbeitern, die pauschal bezahlt wurden, kippten auf diese Weise bis zu 9% der Entscheidungen. Die Fälle kamen in zufälliger Reihenfolge, die letzte Entscheidung sagte also nichts über die nächste, so wie der letzte Coup nichts über den nächsten sagt.
Der umgekehrte Spielerfehlschluss
Der Philosoph Ian Hacking (1987) benannte eine dritte Variante. Jemand betritt einen Raum, sieht zwei Würfel einen Sechserpasch zeigen und schließt daraus, dass schon viele Male gewürfelt worden sein muss. Jeder Wurf ist mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein Sechserpasch, ob der erste des Abends oder der tausendste, also sagt der Anblick nichts darüber, wie lange das Spiel schon läuft. Beim Roulette ist es der Spieler, der an eine Anzeigetafel mit achtmal Rot kommt und meint, der Tisch müsse schon stundenlang laufen, um das hervorzubringen. Der gewöhnliche Fehlschluss liest die Vergangenheit in den nächsten Coup hinein; dieser liest einen seltenen Anblick in eine Vergangenheit hinein, die niemand gesehen hat.
Ein Psychologe, der daran glaubte
Der Fehlschluss hatte gelehrte Verteidiger. Der deutsche Psychologe Karl Marbe ging vier Geburtsregister mit je 49.152 Geburten durch, fand als längste Folge von Jungen oder von Mädchen hintereinander 17 und schloss daraus, dass lange Serien seltener seien, als der Zufall zulässt, sodass eine Serie das andere Ergebnis wahrscheinlicher mache. Der Zufall allein sagt etwas anderes: Unter 196.608 Geburten tritt eine Serie von 17 oder mehr in etwa vier von fünf Fällen auf. Marbe hatte genau das gefunden, wie eine zufällige Folge aussieht. Epstein (2013) erzählt den Fall nach; Wahrscheinlichkeit von Serien zeigt die Roulette-Fassung.
Wo der Fehlschluss nicht gilt
Wäre der Kessel physisch fehlerhaft, wären vergangene Coups aussagekräftig, denn sie wären Hinweise auf die Fächer und nicht auf Glück. Das ist das Thema des Labors, und es braucht Tausende von Coups an einem bekannten Kessel, um überhaupt etwas zu sagen. Bei einer Serie von zehnmal Rot an einem unbekannten Kessel ist die Erklärung durch einen Kesselfehler weit weniger wahrscheinlich als der Zufall.
Fragen
Nein. Er gilt für jedes unabhängige, wiederholte Ereignis: Würfel, Münzen, Lottozahlen.
Die Anteile kommen sich nahe. Ihr Ergebnis liegt trotzdem bei etwa −2,70% dessen, was Sie gesetzt haben.
Ein Gesetz des Ausgleichs gibt es nicht. Es gibt ein Gesetz der großen Zahlen, und es wirkt durch Verdünnung.
Mathe zum Mitdenken
Versuchen Sie es zuerst selbst. Jede Lösung ist eingeklappt; öffnen Sie sie, wenn Sie so weit sind.
Nach 10 Würfen zeigt eine Münze 7-mal Kopf und 3-mal Zahl. Nach 1.000 Würfen zeigt sie 517-mal Kopf und 483-mal Zahl. Hat Zahl aufgeholt?
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Antwort Nein. Der Abstand wuchs von 4 auf 34. Nur das Verhältnis kam näher an ausgeglichen heran.
Das Verhältnis von Kopf zu Zahl fiel von 7/3, etwa 2,33, auf 517/483, etwa 1,07. Das ist das Gesetz der großen ZahlenMathematikGesetz der großen ZahlenDer Durchschnitt unabhängiger Ergebnisse nähert sich dem Erwartungswert, wenn die Zahl der Versuche wächst.Ganz lesen → am Werk.
Der Abstand zwischen beiden wuchs, von 4 auf 34. Bei einer fairen Münze ist ein Abstand von etwa 30 nach 1.000 Würfen gewöhnlich: Der typische Abstand wächst ungefähr mit der Quadratwurzel der Zahl der Würfe, während sich das Verhältnis bei 1 einpendelt.
Nichts hat Zahl zurückgeholt. Der frühe Überschuss an Kopf wurde durch die nächsten 990 Würfe verdünnt, nicht ausgeglichen.
Werfen Sie eine Münze viermal und betrachten Sie nur die Würfe, die direkt auf Kopf folgen. Welcher Anteil davon ist Kopf? Rechnen Sie es für jede der 16 möglichen Folgen aus und bilden Sie den Durchschnitt der Anteile. Sind es 50%?
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Antwort Nein. Es sind 17/42, etwa 40,5%. So betrachtet scheint eine faire Münze nach Kopf kalt zu werden.
Schreiben Sie die 16 Folgen auf (K für Kopf, Z für Zahl). Zwei davon, ZZZZ und ZZZK, haben unter den ersten drei Würfen keinen Kopf, also folgt nichts auf Kopf; es bleiben 14.
Nehmen Sie in jeder die Würfe, die auf Kopf folgen, und bestimmen Sie, welcher Anteil davon Kopf ist. KKKK ergibt 3 von 3. KKKZ ergibt 2 von 3. KZKZ ergibt 0 von 2. Alle 14 durchgegangen: Sechs Folgen ergeben 0, vier ergeben 1/2, eine ergibt 2/3 und drei ergeben 1 (KKKK, ZKKK und ZZKK).
Zählen Sie die Anteile zusammen: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. Geteilt durch 14: 17/42 ≈ 40,5%.
Kein Wurf bevorzugt Zahl; jeder steht 50:50. Die Schieflage entsteht durch die Mittelung Folge für Folge: Eine Folge voller Kopf liefert viele Würfe zum Betrachten, zählt aber nur einmal, genau wie eine Folge mit einem einzigen. Miller und Sanjurjo (2018) zeigten, dass die Hot-Hand-Studie von 1985 ihre Basketballspieler auf diese Weise gemessen hatte, sodass Spieler, die nicht serienhafter wirkten als der Zufall, in Wahrheit etwas serienhafter gewesen waren.
Zum Schmunzeln
Verdünnung, nicht Ausgleich. Der Kessel schuldet nichts.
Quellen
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”