Fibonacci
Die Einsätze folgen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 … Nach einem Verlust einen Schritt vor, nach einem Gewinn zwei zurück.
Es schlägt den Kessel nicht; das tut kein Einsatzplan. Es ist milder als die Martingale, übersteht daher längere Verlustserien, bevor das Limit erreicht ist, und erholt sich langsamer. Der erwartete Verlust beträgt dieselben 2,70% des UmsatzesGeldUmsatzDer insgesamt gesetzte Betrag über eine Sitzung oder einen Zeitraum, wieder gesetzte Gewinne mitgezählt. Auch: Handle, Action.Ganz lesen →.
Wie die Folge entsteht
Jede Zahl ist die Summe der beiden vorhergehenden.
Nach 8 und 13 kommt also 21.
Zeichnet man jede Zahl als Quadrat, fügen sich die Quadrate aneinander: Jedes neue ist so lang wie die beiden vorigen nebeneinander. Ein Viertelkreis durch jedes Quadrat, und die Bögen schließen sich zu einer Spirale.
Die Folge durchgehen
Ein Verlust führt einen Schritt nach rechts. Ein Gewinn führt zwei Schritte zurück.
Einsätze und Ergebnisse sind in Einheiten des Grundeinsatzes angegeben.
Wie funktioniert das Fibonacci-System?
Schreiben Sie die FibonacciStrategieFibonacciProgression, die der Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 … folgt: nach einem Verlust einen Schritt vor, nach einem Gewinn zwei Schritte zurück.Ganz lesen →-Zahlen auf: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Jede ist die Summe der beiden davor. Beginnen Sie bei der ersten und setzen Sie so viele EinheitenGeldEinheitDer Grundeinsatz, in dem ein System oder ein Spieler rechnet. Progressionen werden in Einheiten beschrieben, damit sie an jedem Tisch gelten.Ganz lesen →. Verlieren Sie, gehen Sie einen Schritt nach rechts. Gewinnen Sie, gehen Sie zwei Schritte nach links oder zurück zum Anfang, wenn kein Platz mehr ist. Das ist das ganze System. Die Tabelle zeigt, was jeder Schritt kostet: Eine Verlustserie, die durch das TischlimitTischTischlimitKleinste und größte erlaubte Wette. Das Maximum ist es, was Verdopplungsprogressionen stoppt.Ganz lesen → oder Ihre BankrollGeldBankrollDer gesamte Betrag, der für das Spiel beiseitegelegt wurde (Spielkapital). Bankroll-Management ist die Entscheidung, wie viel davon pro Wette und pro Sitzung riskiert wird.Ganz lesen → abgeschnitten wird, verliert die Summe von allem, was bisher gesetzt wurde.
Wie sieht eine Sitzung aus?
Nehmen Sie einen Grundeinsatz von $10 und acht Coups: V V G V V V G G. Die Einsätze lauten 10, 10, 20 (Gewinn, zwei zurück, auf Schritt 1), 10, 10, 20, 30 (Gewinn, zwei zurück, auf Schritt 2), 10 (Gewinn, zurück zum Anfang). Verloren: 10 + 10 + 10 + 10 + 20 = 60. Gewonnen: 20 + 30 + 10 = 60. Fünf Verluste, drei Gewinne, und die Bilanz ist ausgeglichen. Das ist der Reiz des Systems. Die Kosten stehen in derselben Zeile: Es brauchte Wetten über $120, um dorthin zu kommen, und auf jedem gesetzten Dollar liegt der HausvorteilMathematikHausvorteilDer Anteil jedes Einsatzes, den das Casino im Durchschnitt behält: 2,70% im europäischen Roulette.Ganz lesen →.
Warum zwei Schritte zurück und nicht einen?
Weil ein Gewinn genau zwei Verluste bezahlt. Jede Zahl ist die Summe der beiden davor, ein Gewinn mit 5 Einheiten bringt also die 2 und die 3 zurück, die unmittelbar davor verloren gingen. Denken Sie an eine Treppe: für jeden Verlust eine Stufe hinauf, für jeden Gewinn zwei Stufen hinunter. Die Stufe, auf der Sie stehen, ist Ihre Schuld. Auf Schritt 5 liegen Sie 7 Einheiten zurück, auf Schritt 8 sind es 33, und zurück auf der ersten Stufe sind Sie genau ausgeglichen. Ein Plus entsteht nur durch Gewinne auf der ersten Stufe, eine Einheit nach der anderen.
Bei fast so vielen Gewinnen wie Verlusten klingt zwei Stufen für eine nach einem guten Geschäft, und meistens führt die Treppe tatsächlich wieder hinunter. Der Haken ist, dass die Stufen höher werden, je weiter Sie steigen. Zehn Gewinne auf der ersten Stufe bringen 10 Einheiten. Drei Verluste auf den Schritten 6, 7 und 8 kosten 8 + 13 + 21 = 42.
- p10 −$500
- p25 −$500
- Median −$500
- p75 +$250
- p90 +$920
Funktioniert das Fibonacci-System?
Nein. Nicht als Weg, am Ende vorn zu liegen. Die Rechnung ist dieselbe wie bei jedem System: Jede Wette verliert im Durchschnitt 1/37 ihres Einsatzes, die ganze Folge also 1/37 von allem Gesetzten. Eine berühmte Folge ändert daran nichts, denn der Kessel zahlt dieselbe Quote, egal wie groß der JetonGeldJetonEine Spielmarke mit festem Wert, die auf das Tableau gelegt wird, um zu setzen. Auch: Chip, Cheque.Ganz lesen → ist. Fibonacci-Einsätze driften nach oben, es setzt also pro Coup mehr als gleichbleibender EinsatzStrategieGleichbleibender EinsatzBei jedem Coup denselben Betrag setzen (Masse égale). Der Maßstab, an dem jede Progression gemessen wird.Ganz lesen →, und sein erwarteter VerlustMathematikErwarteter VerlustErwartungswert mal insgesamt gesetzter Betrag; der Betrag, der über eine Sitzung oder einen Zeitraum im Durchschnitt verloren geht.Ganz lesen → pro Sitzung ist höher. Die MartingaleStrategieMartingaleProgression, die die Wette nach jedem Verlust verdoppelt. Was sie leistet und was nicht, steht im Bereich Strategie.Ganz lesen → setzt noch mehr und verliert mehr.
Ist es sicherer als die Martingale?
Es ist langsamer, und das ist nicht dasselbe. Fibonacci-Einsätze wachsen um etwa 1,6× pro Schritt statt um 2×, ein Limit von $500 ist daher von einem Grundeinsatz von $10 aus nach etwa zehn Verlusten in Folge erreicht statt nach sechs. Das macht die Klippe seltener: zehn verlorene einfache Chancen in Folge haben (19/37)¹⁰ ≈ 0,13%, gegenüber (19/37)⁶ ≈ 1,8% bei sechs. Aber die Klippe ist auch höher, weil auf dem Weg dorthin mehr gesetzt wurde, und ein einzelner Gewinn macht sie nicht rückgängig.
Woher kommen die Zahlen?
Aus einer Rätselaufgabe über Kaninchen. Leonardo von Pisa, später Fibonacci genannt, stellte sie 1202 in seinem Liber Abaci: Man beginne mit einem Paar, lasse jedes Paar ab seinem zweiten Monat jeden Monat ein neues Paar hervorbringen und zähle die Paare. Die Antwort lautet 1, 2, 3, 5, 8, 13. Er war nicht der Erste, der die Regel fand. Indische Gelehrte der Verslehre hatten sie früher aufgeschrieben: Singh (1985) führt sie auf Virahanka zurück, zwischen 600 und 800, und dann auf Gopala und Hemachandra.
Keiner von ihnen dachte an einen Kessel. Die hier verwendeten Quellen sagen nicht, wer als Erster nach der Folge Geld gesetzt hat. Was sie aber zeigen: Die Arithmetik der Folge und die des Roulettes treffen sich nie. Die eine sagt, wie die Einsätze wachsen, die andere, was jeder Einsatz zurückbringt.
Wie viel ist nach einer Verlustserie verloren?
Zwei Identitäten machen die Tabelle oben leicht überprüfbar. Nach n Verlusten in Folge ist der Gesamtverlust die (n + 2)-te Fibonacci-Zahl minus 1, also 1, 2, 4, 7, 12, 20 und so weiter, und der nächste Einsatz ist die (n + 1)-te Fibonacci-Zahl. Bollman (2021) beweist dasselbe Ergebnis durch Induktion für eine Folge, die mit 1, 2, 3 beginnt, was jede Zahl um eine Stelle verschiebt. Bei einem Limit von 500 Einheiten und einem Start mit 1 Einheit kann die Martingale ihre 10. Wette, 512 Einheiten, nicht mehr platzieren. Fibonacci kann seine 14. platzieren, 377 Einheiten, aber nicht seine 15., 610.
Was ändert sich auf einem Dutzend oder einer Kolonne?
Auf ein DutzendWetteDutzend1–12, 13–24 oder 25–36, zahlt 2:1.Ganz lesen → oder eine KolonneWetteKolonneZwölf Zahlen in einer senkrechten Kolonne des Tableaus, zahlt 2:1.Ganz lesen →, die 2 zu 1 zahlen, ist der Schritt zurück nicht nötig. Ein Gewinn beim Einsatz F zahlt 2F, und das ist immer mehr als alles, was davor verloren wurde, sodass jeder Gewinn die Folge im Plus beendet. Der Preis: Ein Dutzend gewinnt nur 12 von 37 Mal, lange Verlustserien sind daher viel häufiger. Vierzehn verlorene Dutzende in Folge kommen etwa einmal in 242 Versuchen vor, bei RotWetteRotEinfache Chance auf die 18 roten Zahlen. Französisch: Rouge.Ganz lesen → etwa einmal in 11.000.
Und wenn Sie erst nach zwei Gewinnen in Folge aufhören?
Eine andere Variante geht nach jedem Coup einen Schritt vor, ob Gewinn oder Verlust, und hört erst nach zwei Gewinnen in Folge auf. Mit n Verlusten vor den beiden Gewinnen ist der Gewinn die (n + 1)-te Fibonacci-Zahl plus 1: klein, wenn die Gewinne früh kommen, größer, wenn sie spät kommen, und erzielt mit Einsätzen, die entsprechend gewachsen sind. Ein frühes Gewinnpaar kommt immer bei kleinen Einsätzen; ein spätes kann eine große Wette genau in dem Moment verlangen, in dem die Sitzung am schlechtesten steht.
Simulator · Fibonacci
2.000 Sitzungen mit Wetten auf einfache Chancen, ausgehend von einer Bankroll von $1.000.
Grundeinsatz $10 · Tischlimit $500 · 100 Coups pro Sitzung
Wie oft eine Verlustserie kommt
Eine einfache Chance verliert an einem Kessel mit einer Zero 19 von 37 Coups. Jede Zeile zeigt die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Reihe von Coups vollständig verloren geht, und was ein Fibonacci-Spieler, der nach jedem Verlust einen Schritt in der Folge weitergeht, bis dahin verloren hat.
| Verluste in Folge | Wahrscheinlichkeit | etwa 1 von | bisher verloren | nächster Einsatz |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51,4% | 2 | $1 | $1 |
| 2 | 26,4% | 4 | $2 | $2 |
| 3 | 13,5% | 7 | $4 | $3 |
| 4 | 7,0% | 14 | $7 | $5 |
| 5 | 3,6% | 28 | $12 | $8 |
| 6 | 1,8% | 55 | $20 | $13 |
| 7 | 0,94% | 106 | $33 | $21 |
| 8 | 0,48% | 207 | $54 | $34 |
| 9 | 0,25% | 403 | $88 | $55 |
| 10 | 0,13% | 784 | $143 | $89 |
| 11 | 0,065% | 1527 | $232 | $144 |
| 12 | 0,034% | 2974 | $376 | $233 |
| 13 | 0,017% | 5792 | $609 | $377 |
| 14 | 0,0089% | 11279 | $986 | $610 |
| 15 | 0,0046% | 21965 | $1.596 | $987 |
Die Wahrscheinlichkeit ist 19/37, einmal pro Verlust mit sich selbst multipliziert, gerechnet ab einem bestimmten Coup. Eine lange Sitzung hat viele Coups, an denen eine solche Serie beginnen kann; über einen Abend ist sie daher weit wahrscheinlicher, als eine einzelne Zeile vermuten lässt.
Fragen
Ja: vor nach einem Gewinn, zurück nach einem Verlust. Es verhält sich wie ein langsameres ParoliStrategieParoliPositive Progression: nach einem Gewinn verdoppeln, nach einem Verlust oder nach drei Gewinnen in Folge zurücksetzen. Auch: umgekehrte Martingale.Ganz lesen →.
Mathe zum Mitdenken
Versuchen Sie es zuerst selbst. Jede Lösung ist eingeklappt; öffnen Sie sie, wenn Sie so weit sind.
Spielen Sie die Variante, die nach jedem Coup, ob Gewinn oder Verlust, einen Schritt in der Folge weitergeht und nach zwei Gewinnen in Folge aufhört: Einsätze 1, 1, 2, 3, 5, 8 und so weiter. Die ersten vierzehn Ergebnisse sind G V G V V V G V V V G V V G. Wo stehen Sie, und wie hoch ist die nächste Wette?
Lösung anzeigen
Antwort 22 EinheitenGeldEinheitDer Grundeinsatz, in dem ein System oder ein Spieler rechnet. Progressionen werden in Einheiten beschrieben, damit sie an jedem Tisch gelten.Ganz lesen → im Minus. Die nächste Wette beträgt 610 Einheiten, und ein Gewinn würde die Sitzung mit 588 im Plus beenden.
Die Einsätze sind die ersten vierzehn FibonacciStrategieFibonacciProgression, die der Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 … folgt: nach einem Verlust einen Schritt vor, nach einem Gewinn zwei Schritte zurück.Ganz lesen →-Zahlen: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 und 377. Addieren Sie die Gewinne und ziehen Sie die Verluste ab: +1 −1 +2 −3 −5 −8 +13 −21 −34 −55 +89 −144 −233 +377 = −22.
Das letzte Ergebnis war ein Gewinn, also beendet ein weiterer Gewinn die Sitzung. Der nächste Einsatz ist 610: Ein Gewinn ergibt +588, ein Verlust −632 und einen nächsten Einsatz von 987.
Die Variante endet immer im Plus, braucht dafür hier aber eine Wette von 610 Einheiten. Nach den üblichen Regeln, zwei Schritte zurück nach einem Gewinn, stehen Sie nach denselben vierzehn Ergebnissen nur 1 Einheit im Minus, und der nächste Einsatz ist 2. Bollman (2021), der die Folge mit 1, 2, 3 beginnt, kommt auf 1 Einheit im Minus und einen nächsten Einsatz von 3. Die üblichen Regeln verlieren hier weniger, weil jeder Gewinn die Einsätze wieder nach unten zieht.
CoupEinsatzErgebnislaufender Stand11G+121V032G+243V−155V−668V−14713G−1821V−22934V−561055V−1111189G−2212144V−16613233V−39914377G−22Warum ergeben in derselben Variante n Verluste, gefolgt von zwei Gewinnen, immer einen Gewinn in Höhe der (n + 1)-ten Fibonacci-Zahl plus 1?
Lösung anzeigen
Antwort Die n Verluste ergeben zusammen die (n + 2)-te Fibonacci-Zahl minus 1, und die zwei Gewinne sind die nächsten beiden Zahlen, die diese Summe zusammen um die (n + 1)-te Zahl plus 1 übertreffen.
Schreiben Sie F₁, F₂, F₃ … für 1, 1, 2, 3, 5 … Jede Zahl ist die Summe der beiden davor.
Die Verluste: F₁ + F₂ + … + Fₙ. Addieren Sie zu dieser Summe 1, geschrieben als F₂, und sie fällt in sich zusammen: F₂ + F₁ = F₃, dann F₃ + F₂ = F₄ und so weiter, bis die ganze Summe Fₙ₊₂ ist. Die Verluste betragen also Fₙ₊₂ − 1.
Die Gewinne sind die nächsten beiden Einsätze, Fₙ₊₁ und Fₙ₊₂. Gewinn: Fₙ₊₁ + Fₙ₊₂ − (Fₙ₊₂ − 1) = Fₙ₊₁ + 1. Bei vier Verlusten sind das F₅ + 1 = 6 Einheiten.
Zum Schmunzeln
Der Goldene Schnitt trifft auf das Schild mit dem Tischmaximum.
Quellen
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Sigler, L. E. Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation.
- Singh, P. The so-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India.