Ungewöhnliche Kessel
Kessel mit 18, 25, 26, 31, 40, 49, 62, 73 oder 105 Fächern. Eine Regel bestimmt den Preis fast aller: der Anteil der Fächer, den die Auszahlungen ignorieren.
Werden die Auszahlungen so festgelegt, als gäbe es die Fächer der Bank nicht, ist der HausvorteilMathematikHausvorteilDer Anteil jedes Einsatzes, den das Casino im Durchschnitt behält: 2,70% im europäischen Roulette.Ganz lesen → die Zahl der Fächer der Bank geteilt durch die Gesamtzahl der Fächer, unabhängig von der Größe des Kessels. Die meisten ungewöhnlichen Kessel folgen dieser Regel. Interessant sind die, die sie brechen: eine gerundete Auszahlung, eine Bonusrunde oder eine Wette, die mehrere Coups lang stehen bleibt.
Eine Regel für jeden Kessel
Europäisches RouletteVarianteEuropäisches RouletteKessel mit einer Zero, 37 Fächer, Hausvorteil 2,70%. Das maßgebliche Modell dieser Website.Ganz lesen → zahlt 35 zu 1, als hätte der Kessel 36 FächerAusstattungFachEines der 37 nummerierten Fächer der Drehscheibe (Nummernfach). Auch: Slot, Cup.Ganz lesen →. Er hat 37, und das fehlende Fach ist der Hausvorteil von 2,70%. Dieselbe Regel gilt für jeden Kessel: Bei N Zahlen und Z Fächern der Bank hat eine Wette auf n Zahlen, die (N − n)/n zu 1 zahlt, einen Hausvorteil von Z/(N + Z). Kessel jeder Größe wurden nach dieser Regel gebaut oder vorgeschlagen, und die Tabelle ordnet sie nach Preis.
Größer kann günstiger sein
Spieler halten einen Kessel mit 62 Fächern für schwerer zu treffen und vermuten ein schlechteres Spiel. Der Hausvorteil hängt nur vom Anteil der Fächer der Bank ab. Super 62 hat zwei ZerosKesselZeroDas einzelne grüne Fach, das keine einfache Chance, kein Dutzend und keine Kolonne abdeckt; die Quelle des Hausvorteils. Auch: einfache Zero, 0.Ganz lesen → wie der amerikanische Kessel, aber sie sind 2 von 62 Fächern statt 2 von 38, also kostet es 3,23% statt 5,26%. Roulette 73 mit 72 Zahlen und einer Zero würde 1,37% kosten, etwa so viel wie eine einfache Chance im französischen Roulette. Bei einem kleinen Kessel wirkt die Regel in die andere Richtung. Bollman bildet einen antiken Kessel mit 18 Fächern ab, 1 bis 16 plus 0 und 00. Nach der Regel würde jede Wette 2/18 kosten, 11,11%: Zwei Fächer der Bank sind ein großer Anteil eines kleinen Kessels.
Wo die Regel bricht: Rundung
Eine AuszahlungGeldAuszahlungWas eine gewinnende Wette einbringt, angegeben als „X zu 1“ zusätzlich zum zurückgegebenen Einsatz.Ganz lesen → muss ein sinnvoller Betrag in JetonsGeldJetonEine Spielmarke mit festem Wert, die auf das Tableau gelegt wird, um zu setzen. Auch: Chip, Cheque.Ganz lesen → sein, und wenn die Regel einen Bruch ergibt, rundet das Casino ab. Die Avenue-Wette von 100 To 1 Roulette deckt 15 Fächer ab und müsste 5⅔ zu 1 zahlen; sie zahlt 11 zu 2, was ihren Hausvorteil von 4,76% auf 7,14% hebt. Bei Super 62 enthalten sieben Zahlen die Ziffer 6 (6, 16, 26, 36, 46, 56, 60), und die Wette auf diese Ziffer zahlt 7 zu 1, was 9,68% ergibt, das Dreifache des übrigen TableausAusstattungTableauDas aufgedruckte Setzfeld auf dem Tisch. Auch: Tisch, Filz, Tuch.Ganz lesen →. Die weiße Wette von Riverboat Roulette deckt 8 Zahlen zu 7 zu 2 ab; an einem Tisch ohne 50-Cent-Jetons wird ein Gewinn auf $5 mit $17 statt $17,50 ausgezahlt, was den Hausvorteil von 5,26% auf 7,37% hebt. Die amerikanische Fünf-Zahlen-Wette mit 7,89% ist der bekannte Fall derselben Sache.
Wo die Regel bricht: Boni
Fast Action Roulette, 2020 im Marina Bay Sands eingeführt, nutzt einen echten Kessel mit vier Zeros, der für sich allein 10% kosten würde. Bei jedem Coup leuchten zufällig zehn Bonus-Zahlen auf. Eine volle ZahlWetteVolle ZahlEine einzelne Zahl, zahlt 35:1.Ganz lesen → zahlt 35 zu 1, 40 zu 1, wenn ihre Zahl eine Bonus-Zahl ist, und 80 zu 1, wenn ihre ganze Viererreihe Bonus ist, was sie auf 6,65% bringt. Die anderen drei Wetten des Spiels kosten weit mehr. IGTs Double Bonus Spin fügt einem amerikanischen Kessel ein gelbes Bonus-Fach von anderthalb Fächern Breite hinzu; fällt die KugelAusstattungKugelDie kleine Kugel, die gegen die Drehrichtung der Drehscheibe in den Kugellauf eingeworfen wird. Moderne Kugeln bestehen aus Ivorine oder Teflon, 18–21 mm.Ganz lesen → dort hinein, erhält jede Wette zwei Gratis-Coups. Nach unserer Rechnung senkt das den Hausvorteil auf zwischen 1,94% (volle Zahl) und 2,73% (einfache Chance), unter den des gewöhnlichen amerikanischen Kessels. Bollman (2021) nennt für dieses Spiel 3% bis 16%; seine vereinfachte Formel enthält einen algebraischen Fehler, und für einfache ChancenWetteEinfache ChanceRot/Schwarz, Ungerade/Gerade, Hoch/Niedrig. 18 Zahlen, zahlt 1:1.Ganz lesen → folgt aus ihr, dass die Gratis-Coups mehr als den Einsatz verlieren, was sie nicht können.
Wo die Regel bricht: Wetten, die stehen bleiben
Riverboat Roulette (2012) gab 32 Zahlen eines amerikanischen Kessels eine zweite Farbe. Weiß markiert die vier Fächer um jede Zero (1, 2, 9, 10, 13, 14, 27, 28). Eine Wette auf eine Farbgruppe gewinnt, wenn eine ihrer Zahlen vor einer der acht weißen Zahlen kommt. Eine weiße Zahl ist ein „White Out“, das jede Farbwette abräumt. Jede andere Zahl ist ein Unentschieden: Die Wette bleibt stehen und kann zwischen den Coups zurückgenommen oder erhöht werden. Petrol deckt drei Zahlen ab und zahlt 2 zu 1. Pro abgerechneter Wette verliert sie 2/11 des Einsatzes, 18,18%. Pro Coup verliert sie 2/38, die bekannten 5,26%, weil die durchschnittliche Wette 38/11 Coups stehen bleibt, etwa 3,5.
Ein Rad, das Thorp vorhersagen konnte: Big Six
Das Big Six, auch Glücksrad genannt, ist ein großes, senkrecht stehendes Rad mit 54 Feldern: 24 zahlen 1 zu 1, 15 zahlen 2 zu 1, sieben 5 zu 1, vier 10 zu 1, zwei 20 zu 1, und zwei Logo-Felder zahlen 40 zu 1. Es gibt keine Zero; die Bank holt sich ihren Anteil, indem sie zu wenig auszahlt, und der Hausvorteil reicht von 11,1% auf den Feldern, die 1 zu 1 zahlen, bis 24,1% auf den Logos. 1961 baute Thorp dafür ein Vorhersagegerät in der Größe einer Streichholzschachtel, das mit einem Zehenschalter bedient wurde, und 1981, als er eine Umdrehung eines Casino-Rads mit einer Armbanduhr stoppte, stellte er fest, dass er den Haltepunkt meist auf fünf Felder genau angeben konnte. Nur auf die hoch zahlenden Felder nahe der Vorhersage zu setzen, hätte etwa +211% eingebracht, wenn Wetten noch angenommen würden, nachdem das Rad angedreht ist. Das werden sie nicht, und das Rad dreht sich langsam und für alle sichtbar, sodass eine späte Wette auffallen würde; Thorp schrieb, an dem Spiel sei zu wenig los, um eine solche Wette zu verbergen.
Warum sich so wenige durchsetzen
Ein professioneller Kessel kostet Tausende Dollar, und ein Kessel mit einer ungewöhnlichen Zahl von Fächern muss auf Bestellung gefertigt werden. Die meisten neuen Roulettespiele behalten daher den Standardkessel und fügen Wetten hinzu; deshalb ist die Seite über Nebenwetten länger als diese. Der Adler-Kessel mit 31 Fächern aus dem Amerika des 19. Jahrhunderts, mit 12,90% auf eine einzelne Zahl und 9,68% auf alles andere, ging an seinem eigenen Preis zugrunde. Die Idee eines dritten Fachs der Bank kehrte 2016 auf einem Kessel mit 39 Fächern zurück, wo es 7,69% kostet.
Fragen
Nicht an sich. Der Hausvorteil ist der Anteil der Fächer der Bank: 1 von 73 ist günstiger als 1 von 37.
Roulette 73 mit 1,37%, aber das ist ein veröffentlichter Entwurf und kein Tisch, den Sie wahrscheinlich finden. Unter den Kesseln, die Spielern tatsächlich angeboten wurden, folgt Super 62 mit 3,23% nach dem europäischen und dem französischen.
Ein Bonus muss bezahlt werden, meist durch eine gekürzte Grundauszahlung oder durch eine separate Wette mit hohem Hausvorteil.
Mathe zum Mitdenken
Versuchen Sie es zuerst selbst. Jede Lösung ist eingeklappt; öffnen Sie sie, wenn Sie so weit sind.
Royal Roulette, in Australien entwickelt, hat 50 FächerAusstattungFachEines der 37 nummerierten Fächer der Drehscheibe (Nummernfach). Auch: Slot, Cup.Ganz lesen →: die 48 Karten von 2 bis König plus ein Ass und einen Joker. Eine einzelne Karte zahlt 47 zu 1, zwei Karten 23 zu 1, drei 15 zu 1, vier 11 zu 1, sechs 7 zu 1, acht 5 zu 1, zwölf 3 zu 1, sechzehn 2 zu 1 und vierundzwanzig 1 zu 1. Welche Regel ergibt diese AuszahlungenGeldAuszahlungWas eine gewinnende Wette einbringt, angegeben als „X zu 1“ zusätzlich zum zurückgegebenen Einsatz.Ganz lesen →, und was kostet jede Wette?
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Antwort Jede Wette auf n Karten zahlt (48 − n)/n zu 1, also kostet jede Wette 2/50 = 4%.
Probieren Sie die Regel an einigen Wetten aus: 47/1 = 47, 36/12 = 3, 32/16 = 2, 24/24 = 1. Sie passt auf alle neun. Die Regel bewertet den Kessel, als hätte er 48 Fächer, also sind Ass und Joker die zwei Fächer der Bank, genau wie 0 und 00 an einem amerikanischen Kessel.
Zwei Fächer der Bank von 50 ergeben einen Hausvorteil von 4%. Eine „europäische“ Version nimmt den Joker heraus und behält die Auszahlungen: ein Fach der Bank von 49, ein Hausvorteil von 2,04%.
Super 62 hat eine Wette darauf, dass eine gewählte Ziffer in der Gewinnzahl vorkommt. Entwerfen Sie dieselbe Wette für einen gewöhnlichen amerikanischen Kessel. Wie viele der Zahlen 1 bis 36 enthalten jede Ziffer, und welche Auszahlungen würden die üblichen 5,26% halten?
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Antwort Nur Ziffern mit 3 oder 4 Zahlen bekommen glatte Auszahlungen (11 zu 1 und 8 zu 1). Die Ziffern 1, 2 und 3 lassen sich in ganzen JetonsGeldJetonEine Spielmarke mit festem Wert, die auf das Tableau gelegt wird, um zu setzen. Auch: Chip, Cheque.Ganz lesen → nicht fair auszahlen.
Zählen Sie die Zahlen. Die Ziffer 1 kommt in 1, 10 bis 19, 21 und 31 vor: 13 Zahlen. Die Ziffer 2 steckt ebenfalls in 13 Zahlen und die Ziffer 3 in 10. Die Ziffern 4, 5 und 6 stecken in je vier Zahlen (4, 14, 24, 34), und 7, 8 und 9 in je drei.
Eine Wette auf n Zahlen behält den amerikanischen Hausvorteil, wenn sie (36 − n)/n zu 1 zahlt. Das ergibt 8 zu 1 für vier Zahlen und 11 zu 1 für drei, beides ganz. Für 13 Zahlen ergibt es 23/13, etwa 1,77 zu 1, und für 10 Zahlen 2,6 zu 1. Runden Sie 1,77 auf 7 zu 4 ab, kostet die Wette 5,92%; runden Sie auf 2 zu 1 auf, hat der Spieler einen Vorteil von 2,63%. 2,6 auf 5 zu 2 abzurunden ergibt 7,89%.
Die Ziffer 0 ist eine Entscheidungsfrage: 10, 20 und 30 allein zahlen 11 zu 1 bei 5,26%; nehmen Sie 0 und 00 hinzu, ist es eine Fünf-Zahlen-Wette, 6 zu 1 bei 7,89%, wie die ersten FünfWetteDie ersten VierAm Kessel mit einer Zero: 0, 1, 2, 3 mit einem Jeton, zahlt 8:1. Auch: Basket, First Four, Quatre premiers.Ganz lesen →.
ZifferZahlenRegel ergibtmögliche AuszahlungHausvorteil1, 2131,77 zu 17 zu 45,92%3102,6 zu 15 zu 27,89%4, 5, 648 zu 18 zu 15,26%7, 8, 9311 zu 111 zu 15,26%100 To 1 Roulette zahlt bei den meisten Wetten (100 − n)/n zu 1, an einem Kessel mit 100 Zahlen und 5 Symbolen der Bank. Seine Wetten decken 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20 oder 50 Fächer ab und zahlen 100, 49, 32, 24, 19, 9, 11 zu 2, 4 und 1 zu 1. Die volle ZahlWetteVolle ZahlEine einzelne Zahl, zahlt 35:1.Ganz lesen → und die Avenue mit 15 Fächern brechen die Regel. Welche andere Wette tut es, und was kostet sie?
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Antwort Die Wette auf drei Fächer: Die Regel ergibt 32⅓ zu 1, sie zahlt 32 zu 1 und kostet 5,71% statt 4,76%.
Prüfen Sie jede Auszahlung an der Regel: 98/2 = 49, 96/4 = 24, 95/5 = 19, 90/10 = 9, 80/20 = 4 und 50/50 = 1 passen alle. Für drei Fächer ergibt die Regel 97/3 = 32⅓, was kein Jeton auszahlen kann, also wird auf 32 abgerundet.
Die Wette gewinnt 3-mal in 105 Coups und bringt dann 33 EinheitenGeldEinheitDer Grundeinsatz, in dem ein System oder ein Spieler rechnet. Progressionen werden in Einheiten beschrieben, damit sie an jedem Tisch gelten.Ganz lesen → einschließlich des Einsatzes zurück: 3 × 33 = 99 Einheiten zurück für je 105 gesetzte, ein Verlust von 6/105 = 5,71%.
Roulette 73, ein veröffentlichter Entwurf, hat 72 Zahlen und eine ZeroKesselZeroDas einzelne grüne Fach, das keine einfache Chance, kein Dutzend und keine Kolonne abdeckt; die Quelle des Hausvorteils. Auch: einfache Zero, 0.Ganz lesen →, und jede Wette zahlt (72 − n)/n zu 1. Seine 24 grauen Zahlen lassen sich mit 14 Jetons abdecken: 4 volle Zahlen und 10 SplitsWetteSplitZwei benachbarte Zahlen, zahlt 17:1.Ganz lesen →. Was kostet diese Wette mit 14 Jetons?
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Antwort 1,37% der 14 Jetons, wie jede andere Wette an diesem Kessel.
Der lange Weg: Eine volle Zahl zahlt 71 zu 1 und ein Split 35 zu 1. Fällt eine der 4 vollen Zahlen, gewinnen Sie 71 und verlieren die anderen 13 Jetons: +58. Fällt eine der 20 Split-Zahlen: +35 − 13 = +22. Bei den übrigen 49 Fächern verlieren Sie alle 14. Im Durchschnitt über 73 Coups: 4 × 58 + 20 × 22 − 49 × 14 = 232 + 440 − 686 = −14 Einheiten, also 1/73 jedes Jetons.
Der kurze Weg: ErwartungswerteMathematikErwartungswertDas durchschnittliche Ergebnis pro Wette auf lange Sicht. −1/37 des Einsatzes für jede übliche Wette im europäischen Roulette.Ganz lesen → addieren sich. Jeder Jeton ist eine gewöhnliche Wette, die 1/73 ihrer selbst verliert, also verlieren 14 Jetons 14/73. Wetten zu kombinieren ändert, wie sich die Ergebnisse verteilen, nie, was sie kosten.
Super 62 hat 60 Zahlen, 0 und 00, und zahlt (60 − n)/n zu 1. Seine Entwickler zeichneten es auch mit einem, drei und vier Fächern der Bank. Alphabetic Roulette zahlt (24 − n)/n zu 1 bei 25 Fächern und hat eine Variante, in der Y und Z je ein eigenes Fach haben. Bewerten Sie alle fünf.
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Antwort Mit einer bis vier Zeros: 1,64%, 3,23%, 4,76% und 6,25%. Alphabetic mit getrenntem Y und Z: 7,69%.
Jeder dieser Kessel behält seine Auszahlungen und ändert nur die Zahl der Fächer der Bank, also ist der Hausvorteil Fächer der Bank ÷ alle Fächer.
Eine Zero, 61 Fächer: 1/61 = 1,64%. Zwei, 62 Fächer: 2/62 = 3,23%. Drei, 63 Fächer: 3/63 = 4,76%. Vier, 64 Fächer: 4/64 = 6,25%. Jede zusätzliche Zero kostet etwa anderthalb Prozentpunkte.
Alphabetic zahlt, als hätte es 24 Buchstaben. Teilen sich Y und Z ein Fach, hat die Bank 1 von 25, 4%. Mit getrenntem Y und Z hat sie 2 von 26, 7,69%, so viel wie ein Kessel mit Triple-Zero. Ein Fach in zwei zu teilen hat den Preis fast verdoppelt.
KesselFächerFächer der BankHausvorteil60 Zahlen, eine Zero6111,64%Super 626223,23%60 Zahlen, drei Zeros6334,76%Super 646446,25%Alphabetic2514,00%Alphabetic, Y und Z getrennt2627,69%Ein antiker Kessel hat 18 Fächer: 1 bis 16, 0 und 00. Ungerade Zahlen und die 0 sind rotWetteRotEinfache Chance auf die 18 roten Zahlen. Französisch: Rouge.Ganz lesen →, gerade Zahlen und die 00 schwarzWetteSchwarzEinfache Chance auf die 18 schwarzen Zahlen. Französisch: Noir.Ganz lesen →, und die 16 Zahlen liegen auf einem TableauAusstattungTableauDas aufgedruckte Setzfeld auf dem Tisch. Auch: Tisch, Filz, Tuch.Ganz lesen → von 4 mal 4. Entwerfen Sie eine AuszahlungstabelleGeldAuszahlungstabelleDie Liste dessen, was jede Wette oder jedes Ergebnis zahlt. Bei Automaten und Nebenwetten wird dort der Hausvorteil festgelegt.Ganz lesen →, die jeder Wette denselben Hausvorteil gibt. Und warum muss die 0 eine Wette auf Rot verlieren lassen, obwohl sie rot ist?
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Antwort Zahlen Sie (16 − n)/n zu 1: 15 zu 1 auf eine Zahl, 7 auf zwei, 3 auf vier, 1 auf acht. Jede Wette kostet 11,11%. Würde die 0 die Wette auf Rot gewinnen lassen, wäre Rot eine faire Wette.
Bewerten Sie den Kessel, als gäbe es 0 und 00 nicht. Eine Wette auf n Zahlen gewinnt n-mal in 18 und zahlt (16 − n)/n zu 1, bringt also für je 18 gesetzte Einheiten 16 zurück, den Einsatz eingeschlossen. Jede Wette kostet 2/18, 11,11%.
Die natürlichen Wetten des Tableaus gehen glatt auf: eine Zahl 15 zu 1, zwei nebeneinander 7 zu 1, eine Reihe oder eine KolonneWetteKolonneZwölf Zahlen in einer senkrechten Kolonne des Tableaus, zahlt 2:1.Ganz lesen → aus vier 3 zu 1, und zwei Reihen oder die acht ungeraden, geraden, niedrigen oder hohen Zahlen 1 zu 1. Eine Wette auf drei Zahlen bräuchte 4⅓ zu 1; auf 4 zu 1 abgerundet kostet sie 16,67%.
Rot deckt die acht ungeraden Zahlen ab. Würde die 0, weil sie rot ist, auch die Wette auf Rot gewinnen lassen, deckte Rot 9 der 18 Fächer zu 1 zu 1 ab: ein faires SpielMathematikFaires SpielEin Spiel, in dem keine Seite einen Vorteil hat: Jede Wette hat den Erwartungswert null.Ganz lesen → ganz ohne Hausvorteil. Die Fächer der Bank verdienen ihren Vorteil nur, indem sie jede Wette verlieren lassen außer einer Wette auf sie selbst.
Zum Schmunzeln
Zählen Sie die Fächer der Bank, dann suchen Sie die Rundung.
Quellen
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Thorp, E. O. “The invention of the first wearable computer.”