Aufgabe: Der Geburtstagskessel
Wie viele Coups, bis sich irgendeine Zahl wiederholt? Weit weniger, als die meisten schätzen.
Das Geburtstagsproblem an einem Kessel mit 37 FächernAusstattungFachEines der 37 nummerierten Fächer der Drehscheibe (Nummernfach). Auch: Slot, Cup.Ganz lesen →: Schon nach 8 Coups beträgt die Wahrscheinlichkeit mehr als die Hälfte, dass irgendeine Zahl bereits zweimal erschienen ist. Spieler lesen Wiederholungen als Muster; sie sind das erwartete Verhalten eines fairen Kessels.
Die Aufgabe
Sie spielen an einem fairen europäischen Kessel. Wie viele Coups, bis die WahrscheinlichkeitMathematikWahrscheinlichkeitMaß dafür, wie wahrscheinlich ein Ergebnis ist, von 0 bis 1 oder von 0% bis 100%. Eine Zahl: 1/37 = 2,70%.Ganz lesen →, dass mindestens zwei Coups dieselbe Zahl gezeigt haben, die Hälfte übersteigt? Die meisten Spieler schätzen irgendwo um 18 oder 19, die Hälfte von 37. Die Antwort ist 8.
Die Lösung
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es keine Wiederholung gibt, und ziehen Sie sie von eins ab. Nach k Coups gilt p(alle verschieden) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Für k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, also p(irgendeine Wiederholung) ≈ 0,56. Für k = 14 sind es 0,93; für k = 20 sind es 0,996. Die Intuition versagt, weil die Zahl der Paare von Coups wie k² wächst und jedes Paar übereinstimmen kann.
Warum es am Tisch zählt
Eine Permanenzanzeige der letzten 20 Zahlen zeigt fast immer mindestens eine Wiederholung, oft zwei oder drei. Spieler sehen „die 17 kam zweimal in zehn Coups“ und schließen, die 17 sei heiß; die Geburtstagsrechnung sagt, dass eine Wiederholung innerhalb von zehn Coups in 74% der Fälle vorkommt und die wiederholte Zahl zufällig ist. Das Muster ist echt; die Bedeutung ist es nicht.
Die Anschlussaufgabe
Wie viele Coups, bis eine bestimmte Zahl, sagen wir die 17, zweimal erschienen ist? Das ist eine andere Frage mit einer viel größeren Antwort: Das erwartete Warten beträgt 74 Coups, und die Wahrscheinlichkeit für zwei 17er innerhalb von 20 Coups liegt bei etwa 10%. Der Unterschied zwischen „irgendeine Zahl wiederholt sich“ (8 Coups) und „diese Zahl wiederholt sich“ (74 Coups) ist der ganze Unterschied zwischen einem Muster, das man hinterher bemerkt, und einer Vorhersage, die man vorher trifft.
Probieren Sie es aus
Spielen Sie im Demo-Spiel zehn Coups und sehen Sie sich den Verlauf an. Meist gibt es eine Wiederholung. Spielen Sie noch einmal. Die wiederholte Zahl wird eine andere sein. Tun Sie das zehnmal, und Sie haben das GeburtstagsproblemMathematikGeburtstagsproblemWie viele Menschen es braucht, bis zwei wahrscheinlich am selben Tag Geburtstag haben, oder wie viele Coups, bis sich eine Zahl wahrscheinlich wiederholt. An einem Kessel mit 37 Fächern reichen 8 Coups für eine Wahrscheinlichkeit von mehr als der Hälfte.Ganz lesen → gesehen; tun Sie es tausendmal (die Simulatoren können das), und Sie haben es gemessen.
Formel
Fragen
Genau, mit 37 Fächern statt 365 Tagen. 23 Personen ergeben 50% bei Geburtstagen; 8 Coups ergeben 56% beim Kessel.
50% nach etwa 19 Coups. Immer noch alltäglich.
Nein. Tausende von Coups an einem Kessel würden es tun; eine Wiederholung nie.
Mathe zum Mitdenken
Versuchen Sie es zuerst selbst. Jede Lösung ist eingeklappt; öffnen Sie sie, wenn Sie so weit sind.
Eine Permanenzanzeige neben einem amerikanischen Kessel zeigt die letzten 16 Coups. Wie wahrscheinlich ist es, dass keine Zahl darauf zweimal erscheint?
Lösung anzeigen
Antwort Etwa 2,5%: Ungefähr 39 von 40 Anzeigen zeigen mindestens eine Wiederholung.
Gehen Sie Coup für Coup vor. Der erste Coup kann alles sein. Der zweite muss ihn verfehlen: 37 Möglichkeiten von 38. Der dritte muss beide verfehlen: 36 von 38. Der sechzehnte muss fünfzehn Zahlen verfehlen: 23 von 38.
Multiplizieren Sie: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Eine Anzeige ohne Wiederholung ist die seltene. Eine Anzeige mit Wiederholung sagt nichts über den Kessel.
Wie groß ist bei zehn Coups an einem europäischen Kessel die Wahrscheinlichkeit, dass die 17 genau fünfmal kommt? Dass irgendeine Zahl fünfmal oder öfter kommt? Und dass irgendeine Zahl in vier Coups mindestens dreimal kommt?
Lösung anzeigen
Antwort Die 17 genau fünfmal: 1 von 315.576. Irgendeine Zahl fünfmal oder öfter: etwa 1 von 8.333. Irgendeine Zahl dreimal oder öfter in vier Coups: 1 von 349.
Die 17 fünfmal: Wählen Sie, welche fünf der zehn Coups, 252 Möglichkeiten, jede mit der Wahrscheinlichkeit (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Zusammen 1 von 315.576.
Irgendeine Zahl: Jede der 37 Zahlen hat eine Wahrscheinlichkeit von 1 von 308.325 für fünf oder mehr Treffer, was 37 von 308.325 ergibt, oder 1 von 8.333. Der seltene Fall zweier Zahlen mit je fünf Treffern wird doppelt gezählt, aber ihn herauszunehmen ändert bei dieser Genauigkeit nichts.
Dreimal in vier Coups: für eine Zahl 4 × 36 + 1 = 145 der 37⁴ möglichen Ergebnisse; für irgendeine der 37 Zahlen 145/37³ = 1 von 349.
Der Wizard of Odds hat diese Fragen für den Kessel mit DoppelzeroKesselZeroDas einzelne grüne Fach, das keine einfache Chance, kein Dutzend und keine Kolonne abdeckt; die Quelle des Hausvorteils. Auch: einfache Zero, 0.Ganz lesen → beantwortet; unsere Zahlen für diesen Kessel sind 1 von 359.275, 1 von 9.243 und 1 von 368. Der Abstand zwischen „die 17“ und „irgendeine Zahl“ ist wieder das GeburtstagsproblemMathematikGeburtstagsproblemWie viele Menschen es braucht, bis zwei wahrscheinlich am selben Tag Geburtstag haben, oder wie viele Coups, bis sich eine Zahl wahrscheinlich wiederholt. An einem Kessel mit 37 Fächern reichen 8 Coups für eine Wahrscheinlichkeit von mehr als der Hälfte.Ganz lesen →: Es gibt 37 Möglichkeiten, überrascht zu werden.
Zum Schmunzeln
Früh wiederholt sich etwas. Dieses Etwas ist zufällig.
Quellen
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. „Ask the Wizard“, Fragen zum Roulette.